Prove as seguintes afirmações:
(x \cdot y)^{-1}=x^{-1} \cdot y^{-1} para quaisquer números reais x e y não-nulos.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para quaisquer x\neq0 e y\neq0 em \mathbb{R}, vale
(x\cdot y)^{-1} \;=\; x^{-1}\cdot y^{-1}.
Aqui estamos no grupo multiplicativo \mathbb{R}^*=\mathbb{R}\setminus\{0\}. Por definição, para cada a\neq0 existe um único inverso a^{-1} tal que
a\cdot a^{-1}=1\quad\text{e}\quad a^{-1}\cdot a=1.
Vamos usar essa definição, além da associatividade e comutatividade da multiplicação em \mathbb{R}.

Passo 2

Mostramos que x^{-1}\cdot y^{-1} é o inverso de x\cdot y. De fato,
(x\cdot y)\,\bigl(x^{-1}\cdot y^{-1}\bigr) \;=\; x\;\bigl(y\,x^{-1}\bigr)\;y^{-1} \;=\; x\;\bigl(x^{-1}\,y\bigr)\;y^{-1}
pela comutatividade de y e x^{-1}, e então, pela associatividade,
x\,(x^{-1}\,y)\,y^{-1} = \bigl(x\,x^{-1}\bigr)\,\bigl(y\,y^{-1}\bigr) = 1\cdot1 = 1.
Analogamente, (x^{-1}\cdot y^{-1})(x\cdot y)=1.

Passo 3

Pelo teorema da unicidade do inverso em um grupo, o elemento que multiplicado por x\cdot y 1 é único. Como acabamos de ver que x^{-1}\cdot y^{-1} satisfaz (x\cdot y)(x^{-1}\cdot y^{-1})=1, concluímos que
(x\cdot y)^{-1}=x^{-1}\cdot y^{-1}.

Resposta

(x\cdot y)^{-1}=x^{-1}\cdot y^{-1}.

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