Prove as seguintes afirmações:
para quaisquer números reais
e
não-nulos.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para quaisquer
e
em
, vale
Aqui estamos no grupo multiplicativo
. Por definição, para cada
existe um único inverso
tal que
Vamos usar essa definição, além da associatividade e comutatividade da multiplicação em
.
Passo 2
Mostramos que
é o inverso de
. De fato,
pela comutatividade de
e
, e então, pela associatividade,
Analogamente,
.
Passo 3
Pelo teorema da unicidade do inverso em um grupo, o elemento que multiplicado por
dá
é único. Como acabamos de ver que
satisfaz
, concluímos que