Mostre que x<e^x, para qualquer x real.
(Sugestão: Se x <= 0, a desigualdade é claramente verdadeira. Se x>0, verifique que a função f(x)=e^x-x é crescente e, então, calcule f(0) ).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo número real x, vale a desigualdade
x < e^x
O conteúdo usado será análise de função e monotonicidade (derivadas) com uma separação em dois casos: x<=0 e x>0.

Passo 2

Caso x<=0: como a função exponencial satisfaz e^x>0 para todo x, se x<=0 então
e^x>0>= x,
o que já dá imediatamente
x<e^x

Passo 3

Caso x>0: definimos a função
f(x)=e^x-x
Calculamos a derivada para verificar monotonicidade:
f'(x)=ddxl(e^x-xr)=e^x-1
Para x>0 temos e^x>1, logo f'(x)>0. Isso mostra que f é crescente em (0,infty).

Passo 4

Como f é crescente em (0,infty), para todo x>0 vale
f(x)>f(0)
Mas
f(0)=e^0-0=1,
então
f(x)=e^x-x>1
Isolando e^x obtemos
e^x>x+1> x,
pois x+1>x sempre que x>0.

Resposta

Portanto, em ambos os casos ( x<=0 e x>0) concluímos que, para todo real x,
x < e^x

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