Mostre que
, para qualquer
real.
(Sugestão: Se
, a desigualdade é claramente verdadeira. Se
, verifique que a função
é crescente e, então, calcule
).
(Sugestão: Se
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para todo número real
, vale a desigualdade
O conteúdo usado será análise de função e monotonicidade (derivadas) com uma separação em dois casos:
e
.
Passo 2
Caso
: como a função exponencial satisfaz
para todo
, se
então
o que já dá imediatamente
Passo 3
Caso
: definimos a função
Calculamos a derivada para verificar monotonicidade:
Para
temos
, logo
. Isso mostra que
é crescente em
.
Passo 4
Como
é crescente em
, para todo
vale
Mas
então
Isolando
obtemos
pois
sempre que
.
Resposta
Portanto, em ambos os casos (
e
) concluímos que, para todo real
,