Sejam f(x, y)=(x^2+y^2)^23 e g(x, y)=|x y|^54. Mostre que f e g são de classe C^1 em R^2.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
f(x,y) = (x^2+y^2)^2/3 e g(x,y) = |xy|^5/4
são de classe C^1 em R^2.
Isto significa que devemos mostrar que as derivadas parciais de primeira ordem existem em todo R^2 e são funções contínuas.

Passo 2

Analisemos primeiro f em (x,y)neq(0,0). Como f(x,y) é composição de funções C^infty longe da origem, basta calcular
fx(x,y) = partialpartial x(x^2+y^2)^2/3 = 23(x^2+y^2)^-1/3cdot 2x = 43,x,(x^2+y^2)^-1/3,
fy(x,y) = 43,y,(x^2+y^2)^-1/3

Passo 3

Em (0,0) definimos as derivadas parciais pelo limite:
fx(0,0) = limhto0f(h,0)-f(0,0)h = limhto0|h|^4/3h =0,
e análogo fy(0,0)=0.
Para verificar continuidade em (0,0), note que, se r=raizx^2+y^2, então
l|fx(x,y)r| = 43,l|xr|,r^-2/3 <= 43,r,r^-2/3 = 43,r^1/3;xrightarrow[rto0];0,
e idem para fy. Logo fx e fy são contínuas em toda R^2 e fin C^1(R^2).

Passo 4

Agora . Para com e temos
Em pontos onde ou , o limite da diferença quociente mostra que
e .
Para ver continuidade, por exemplo, em basta observar
e casos análogos para e para . Assim as derivadas existem e são contínuas em , logo .

Resposta

As funções f e g são de classe C^1 em R^2.

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