Sejam
e
. Mostre que
e
são de classe
em
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
são de classe
em
.
Isto significa que devemos mostrar que as derivadas parciais de primeira ordem existem em todo e são funções contínuas.
Isto significa que devemos mostrar que as derivadas parciais de primeira ordem existem em todo
Passo 2
Analisemos primeiro
em
. Como
é composição de funções
longe da origem, basta calcular
Passo 3
Em
definimos as derivadas parciais pelo limite:
e análogo
.
Para verificar continuidade em , note que, se
, então
Para verificar continuidade em
e idem para
fy . Logo
fx e
fy são contínuas em toda
R^2 e
fin C^1(R^2) .
Passo 4
Agora
. Para
com
e
temos
Em pontos onde
ou
, o limite da diferença quociente mostra que
e
.
Para ver continuidade, por exemplo, em basta observar
Para ver continuidade, por exemplo, em
e casos análogos para
e para
. Assim as derivadas existem e são contínuas em
, logo
.
Resposta
As funções
f e
g são de classe
C^1 em
R^2 .