Mostre que x=a \sin \left(\omega_{0} t\right)+b \cos \left(\omega_{0} t\right), a, b \in \mathbb{R}, é solução da equação de movimento do oscilador harmônico simples.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
x(t)=a\sin\left(\omega_{0}t\right)+b\cos\left(\omega_{0}t\right),\quad a,b\in\mathbb{R},
é solução da equação de movimento do oscilador harmônico simples. As informações relevantes dadas são: os parâmetros a e b são constantes reais e \omega_{0} é a pulsação (constante real). O que precisamos verificar é que essa função satisfaz a equação diferencial
\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+\omega_{0}^{2}x=0.

Passo 2

Antes de começar a substituir, vamos lembrar as regras de derivação que usaremos (explicação curta e prática):
  • Derivada de \sin(u) em relação a t é \cos(u)\cdot u' (regra da cadeia).
  • Derivada de \cos(u) em relação a t é -\sin(u)\cdot u'.
    Aqui u(t)=\omega_{0}t e u'(t)=\omega_{0}. Essas fórmulas vêm diretamente da definição de derivada e da regra da cadeia; na prova você pode usá-las sem culpa.

Passo 3

Calculemos a primeira derivada x'(t) aplicando as regras acima passo a passo. Começamos com cada termo:
\frac{d}{dt}\bigl(a\sin(\omega_{0}t)\bigr)=a\cos(\omega_{0}t)\cdot\omega_{0}=a\omega_{0}\cos(\omega_{0}t),
\frac{d}{dt}\bigl(b\cos(\omega_{0}t)\bigr)= -b\sin(\omega_{0}t)\cdot\omega_{0}=-b\omega_{0}\sin(\omega_{0}t).
Somando os dois resultados,
x'(t)=a\omega_{0}\cos(\omega_{0}t)-b\omega_{0}\sin(\omega_{0}t).

Passo 4

Agora a segunda derivada x''(t). Derivamos x'(t) termo a termo, aplicando novamente a regra da cadeia:
\frac{d}{dt}\bigl(a\omega_{0}\cos(\omega_{0}t)\bigr)=a\omega_{0}\bigl(-\sin(\omega_{0}t)\bigr)\cdot\omega_{0}=-a\omega_{0}^{2}\sin(\omega_{0}t),
\frac{d}{dt}\bigl(-b\omega_{0}\sin(\omega_{0}t)\bigr)=-b\omega_{0}\cos(\omega_{0}t)\cdot\omega_{0}=-b\omega_{0}^{2}\cos(\omega_{0}t).
Somando,
x''(t)=-a\omega_{0}^{2}\sin(\omega_{0}t)-b\omega_{0}^{2}\cos(\omega_{0}t).

Passo 5

Observe que o lado direito de x''(t) é exatamente -\omega_{0}^{2} multiplicando x(t). Escrevendo isso:
x''(t)=-\omega_{0}^{2}\bigl(a\sin(\omega_{0}t)+b\cos(\omega_{0}t)\bigr)=-\omega_{0}^{2}x(t).
Rearranjando, obtemos
x''(t)+\omega_{0}^{2}x(t)=0,
que é precisamente a equação de movimento do oscilador harmônico simples. Portanto a função dada satisfaz a equação diferencial.

Passo 6

Comentário prático para a prova (dica rápida): a equação é linear homogênea de segunda ordem, e \sin(\omega_{0}t) e \cos(\omega_{0}t) são duas soluções independentes; por isso a combinação linear a\sin(\omega_{0}t)+b\cos(\omega_{0}t) é a solução geral. Se você tiver condições iniciais x(0) e x'(0), basta usar
x(0)=b,\qquad x'(0)=a\omega_{0},
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b=x(0),\qquad a=\frac{x'(0)}{\omega_{0}}.
Isso te dá a e b rapidamente na hora da prova. Força — você consegue!

Resposta

Sim: \;x(t)=a\sin(\omega_{0}t)+b\cos(\omega_{0}t)\; satisfaz \;x''+\omega_{0}^{2}x=0.

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