Mostre que
, é solução da equação de movimento do oscilador harmônico simples.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
é solução da equação de movimento do oscilador harmônico simples. As informações relevantes dadas são: os parâmetros
e
são constantes reais e
é a pulsação (constante real). O que precisamos verificar é que essa função satisfaz a equação diferencial
Passo 2
Antes de começar a substituir, vamos lembrar as regras de derivação que usaremos (explicação curta e prática):
- Derivada de
em relação a é (regra da cadeia). - Derivada de
em relação a é .
Aquie . Essas fórmulas vêm diretamente da definição de derivada e da regra da cadeia; na prova você pode usá-las sem culpa.
Passo 3
Calculemos a primeira derivada
aplicando as regras acima passo a passo. Começamos com cada termo:
Somando os dois resultados,
Passo 4
Agora a segunda derivada
. Derivamos
termo a termo, aplicando novamente a regra da cadeia:
Somando,
Passo 5
Observe que o lado direito de
é exatamente
multiplicando
. Escrevendo isso:
Rearranjando, obtemos
que é precisamente a equação de movimento do oscilador harmônico simples. Portanto a função dada satisfaz a equação diferencial.
Passo 6
Comentário prático para a prova (dica rápida): a equação é linear homogênea de segunda ordem, e
e
são duas soluções independentes; por isso a combinação linear
é a solução geral. Se você tiver condições iniciais
e
, basta usar
logo
Isso te dá
e
rapidamente na hora da prova. Força — você consegue!
Resposta
Sim:
satisfaz
.