Verifique que
e
, são soluções da equação de movimento do oscilador harmônico simples.
Passo 1
O enunciado pede para verificar que as duas funções abaixo são soluções da equação de movimento do oscilador harmônico simples:
As funções dadas são:
onde
é a variável temporal,
e
são constantes (frequência angular e fase) e
são amplitudes constantes reais.
O que precisamos mostrar, passo a passo, é que ao substituir cada uma dessas na equação
obtemos identicamente zero.
O que precisamos mostrar, passo a passo, é que ao substituir cada uma dessas
Passo 2
Antes de derivar, vamos lembrar duas regras básicas de cálculo que vamos usar (explicadas de forma simples):
- Derivada da função seno: a derivada de
é multiplicada pela derivada interna . Ou seja, pela regra da cadeia,
- Derivada da função cosseno: a derivada de
é multiplicada por :
Aqui
tem derivada
porque
e
são constantes.
Passo 3
Verificação para
.
- Calcule a primeira derivada usando a regra da cadeia:
Expliquei cada termo:
é constante e sai da derivada;
vem da derivada do seno;
.
2) Calcule a segunda derivada:
2) Calcule a segunda derivada:
Novamente usamos a regra da cadeia ao derivar o cosseno.
3) Substitua na equação de movimento:
3) Substitua na equação de movimento:
Portanto,
satisfaz
identicamente.
Passo 4
Verificação para
.
- Primeira derivada:
- Segunda derivada:
- Substituição na equação:
Logo,
também satisfaz a equação.
Passo 5
Resumo didático e dica para a prova: o que fizemos foi aplicar a regra da cadeia duas vezes (para obter
) e observar que o resultado é sempre
vezes a função original. Essa propriedade é a característica das soluções senoidais da equação
. Um exemplo simples extra para fixar: a derivada de
é
e a segunda derivada é
, ou seja,
para
.
Resposta
Ambas as funções satisfazem
, logo
e
são soluções da equação de movimento do oscilador harmônico simples.