Verifique que x(t)=A \sin \left(\omega_{0} t+\varphi\right) e x(t)= B \cos \left(\omega_{0} t+\varphi\right), A, B \in \mathbb{R}, são soluções da equação de movimento do oscilador harmônico simples.

Passo 1

O enunciado pede para verificar que as duas funções abaixo são soluções da equação de movimento do oscilador harmônico simples:
\ddot{x}(t)+\omega_{0}^{2}x(t)=0.
As funções dadas são:
x(t)=A\sin\bigl(\omega_{0}t+\varphi\bigr),\quad A\in\mathbb{R},
x(t)=B\cos\bigl(\omega_{0}t+\varphi\bigr),\quad B\in\mathbb{R},
onde t é a variável temporal, \omega_{0} e \varphi são constantes (frequência angular e fase) e A,B são amplitudes constantes reais.
O que precisamos mostrar, passo a passo, é que ao substituir cada uma dessas x(t) na equação \ddot{x}+\omega_{0}^{2}x=0 obtemos identicamente zero.

Passo 2

Antes de derivar, vamos lembrar duas regras básicas de cálculo que vamos usar (explicadas de forma simples):
  1. Derivada da função seno: a derivada de \sin(u(t)) é \cos(u(t)) multiplicada pela derivada interna u'(t). Ou seja, pela regra da cadeia,
\frac{d}{dt}\sin\bigl(u(t)\bigr)=\cos\bigl(u(t)\bigr)\,u'(t).
  1. Derivada da função cosseno: a derivada de \cos(u(t)) é -\sin(u(t)) multiplicada por u'(t):
\frac{d}{dt}\cos\bigl(u(t)\bigr)=-\sin\bigl(u(t)\bigr)\,u'(t).
Aqui u(t)=\omega_{0}t+\varphi tem derivada u'(t)=\omega_{0} porque \omega_{0} e \varphi são constantes.

Passo 3

Verificação para x(t)=A\sin\bigl(\omega_{0}t+\varphi\bigr).
  1. Calcule a primeira derivada usando a regra da cadeia:
\dot{x}(t)=\frac{d}{dt}\bigl[A\sin(u(t))\bigr]=A\cos\bigl(u(t)\bigr)\,u'(t)=A\omega_{0}\cos\bigl(\omega_{0}t+\varphi\bigr).
Expliquei cada termo: A é constante e sai da derivada; \cos(\cdot) vem da derivada do seno; u'(t)=\omega_{0}.
2) Calcule a segunda derivada:
\ddot{x}(t)=\frac{d}{dt}\bigl[A\omega_{0}\cos(u(t))\bigr]=A\omega_{0}\bigl(-\sin(u(t))\bigr)u'(t)=-A\omega_{0}^{2}\sin\bigl(\omega_{0}t+\varphi\bigr).
Novamente usamos a regra da cadeia ao derivar o cosseno.
3) Substitua na equação de movimento:
\ddot{x}(t)+\omega_{0}^{2}x(t)=-A\omega_{0}^{2}\sin\bigl(\omega_{0}t+\varphi\bigr)+\omega_{0}^{2}\bigl[A\sin\bigl(\omega_{0}t+\varphi\bigr)\bigr]=0.
Portanto, \;x(t)=A\sin(\omega_{0}t+\varphi)\; satisfaz \ddot{x}+\omega_{0}^{2}x=0 identicamente.

Passo 4

Verificação para x(t)=B\cos\bigl(\omega_{0}t+\varphi\bigr).
  1. Primeira derivada:
\dot{x}(t)=\frac{d}{dt}\bigl[B\cos(u(t))\bigr]=B\bigl(-\sin(u(t))\bigr)u'(t)=-B\omega_{0}\sin\bigl(\omega_{0}t+\varphi\bigr).
  1. Segunda derivada:
\ddot{x}(t)=\frac{d}{dt}\bigl[-B\omega_{0}\sin(u(t))\bigr]=-B\omega_{0}\cos(u(t))\,u'(t)=-B\omega_{0}^{2}\cos\bigl(\omega_{0}t+\varphi\bigr).
  1. Substituição na equação:
\ddot{x}(t)+\omega_{0}^{2}x(t)=-B\omega_{0}^{2}\cos\bigl(\omega_{0}t+\varphi\bigr)+\omega_{0}^{2}\bigl[B\cos\bigl(\omega_{0}t+\varphi\bigr)\bigr]=0.
Logo, \;x(t)=B\cos(\omega_{0}t+\varphi)\; também satisfaz a equação.

Passo 5

Resumo didático e dica para a prova: o que fizemos foi aplicar a regra da cadeia duas vezes (para obter \ddot{x}) e observar que o resultado é sempre -\omega_{0}^{2} vezes a função original. Essa propriedade é a característica das soluções senoidais da equação \ddot{x}+\omega_{0}^{2}x=0. Um exemplo simples extra para fixar: a derivada de \sin(2t) é 2\cos(2t) e a segunda derivada é -4\sin(2t), ou seja, \ddot{x} + 4x = 0 para x=\sin(2t).

Resposta

Ambas as funções satisfazem \ddot{x}(t)+\omega_{0}^{2}x(t)=0, logo x(t)=A\sin(\omega_{0}t+\varphi) e x(t)=B\cos(\omega_{0}t+\varphi) são soluções da equação de movimento do oscilador harmônico simples.

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