Mostre que
(x+y) dx + (x ln x) dy = 0
não é exata e calcule o fator integrante que a torna exata.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que a expressão diferencial
não é exata e, depois, encontrar um fator integrante que torne essa equação exata. Vamos usar conhecimentos de equações diferenciais e integrar fatores para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial da forma é exata se a derivada parcial de em relação a for igual à derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Aqui, temos:
Vamos calcular as derivadas parciais.

Passo 3

Calculando :
Agora, calculando :

Passo 4

Comparando as duas derivadas parciais:
Como , a equação não é exata.

Passo 5

Agora, vamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata. Vamos supor que o fator integrante depende apenas de . Para isso, usamos a fórmula:
Substituindo os valores:
Então:

Resposta

O fator integrante que torna a equação exata é .

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