Dado que o fator integrante mu(x) da equação
M(x, y) d x+N(x, y) d y=0
é uma função apenas de x, mostre que
mu(y)=exp integral My-NxN d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para mostrar que, dado que o fator integrante M(x, y) , dx + N(x, y) , dy = 0 de uma equação diferencial mu(y) = exp ( integral My - NxN , dx ) é uma função apenas de , então Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais exatas e fatores integrantes, que ajudam a tornar uma equação não exata em exata. Vamos precisar entender como aplicar essas ideias passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma equação diferencial ser exata. Uma equação na forma é exata se existir uma função tal que e . Isso implica que .

Passo 3

Quando a equação não é exata, podemos procurar um fator integrante que, ao multiplicar a equação, a torne exata. Ou seja, queremos que seja exata. Para isso, a condição de exatidão passa a ser .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais:
partial (mu M)partial y = mu partial Mpartial y
partial (mu N)partial x = mu partial Npartial x + mu' N
Onde é a derivada de em relação a .

Passo 5

Igualando as duas expressões para garantir a exatidão:
mu partial Mpartial y = mu partial Npartial x + mu' N
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por partial Mpartial y = partial Npartial x + mu'mu N :

Passo 6

Rearranjando para isolar mu'mu = partial Mpartial y - partial Npartial xN :
Isso nos dá uma equação diferencial para .

Passo 7

Essa equação pode ser escrita como:
dmudx = mu cdot partial Mpartial y - partial Npartial xN
Para resolver essa equação, podemos separar as variáveis:
dmumu = partial Mpartial y - partial Npartial xN , dx

Passo 8

Integrando ambos os lados:
integral dmumu = integral My - NxN , dx
O lado esquerdo resulta em ln mu = integral My - NxN , dx + C , então temos:
Onde é a constante de integração.

Passo 9

Finalmente, exponenciando ambos os lados para resolver para mu = e^integral My - NxN , dx + C = e^C cdot e^integral My - NxN , dx :
mu(x) = exp ( integral My - NxN , dx )
Como é uma constante multiplicativa, podemos simplificar e escrever:

Resposta

Portanto, mostramos que o fator integrante mu(x) = exp ( integral My - NxN , dx ) é dado por:

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