Dado que o fator integrante
da equação
é uma função apenas de
, mostre que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para mostrar que, dado que o fator integrante
de uma equação diferencial
é uma função apenas de
, então
Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais exatas e fatores integrantes, que ajudam a tornar uma equação não exata em exata. Vamos precisar entender como aplicar essas ideias passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma equação diferencial ser exata. Uma equação na forma
é exata se existir uma função
tal que
e
. Isso implica que
.
Passo 3
Quando a equação não é exata, podemos procurar um fator integrante
que, ao multiplicar a equação, a torne exata. Ou seja, queremos que
seja exata. Para isso, a condição de exatidão passa a ser
.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais:
Onde
é a derivada de
em relação a
.
Passo 5
Igualando as duas expressões para garantir a exatidão:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por
:
Passo 6
Rearranjando para isolar
:
Isso nos dá uma equação diferencial para
.
Passo 7
Essa equação pode ser escrita como:
Para resolver essa equação, podemos separar as variáveis:
Passo 8
Integrando ambos os lados:
O lado esquerdo resulta em
, então temos:
Onde
é a constante de integração.
Passo 9
Finalmente, exponenciando ambos os lados para resolver para
:
Como
é uma constante multiplicativa, podemos simplificar e escrever:
Resposta
Portanto, mostramos que o fator integrante
é dado por: