Resolva a equação não homogênea
via o método de coeficientes indeterminados.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial não homogênea
. Esse tipo de equação faz parte do estudo das Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem e vamos usar o Método dos Coeficientes Indeterminados para achar a solução. Para isso, precisamos primeiro resolver a equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular para a não homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é obtida igualando o lado direito a zero:
Essa é uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
Passo 3
Para resolver a equação homogênea, encontramos a equação característica:
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
.
Passo 4
Resolvendo a equação característica:
Obtemos uma raiz dupla
.
Passo 5
Com uma raiz dupla, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes a serem determinadas.
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação não homogênea. Como o lado direito é
, vamos supor uma solução na forma:
onde
é uma constante que precisamos determinar.
Passo 7
Calculando as derivadas de
:
Passo 8
Substituindo
e suas derivadas na equação original:
Simplificando:
Portanto,
.
Passo 9
Assim, a solução particular é:
Passo 10
A solução geral da equação não homogênea é a soma da solução da homogênea com a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação é:
onde
e
são constantes arbitrárias.