Mostre que y=y_{m} \sin (k x-\omega t) pode ser escrito nas seguintes formas:
\begin{array}{ll} y=y_{m} \sin k(x-v t) ; & y=y_{m} \sin 2 \pi\left(\frac{x}{\lambda}-f t\right) \\ y=y_{m} \sin \omega\left(\frac{x}{v}-t\right) ; & y=y_{m} \sin 2 \pi\left(\frac{x}{\lambda}-\frac{t}{T}\right) \end{array}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a forma básica da onda harmônica
y = y_{m}\sin(kx - \omega t)
pode ser reescrita em termos da velocidade de fase v, do comprimento de onda \lambda, da frequência f e do período T. Vamos usar definições como
\displaystyle v=\frac{\omega}{k}, \displaystyle \lambda=\frac{2\pi}{k}, \displaystyle f=\frac{\omega}{2\pi} e T=\tfrac1f, e fazer manipulações algébricas.

Passo 2

Definimos
v = \frac{\omega}{k}.
Então
kx - \omega t = kx - k\,v\,t = k(x - v t),
de onde surge a primeira forma:
y = y_{m}\sin\bigl(k(x - v t)\bigr).

Passo 3

Definimos
k = \frac{2\pi}{\lambda} \quad\text{e}\quad f = \frac{\omega}{2\pi}.
Substituindo em kx - \omega t:
kx - \omega t = \frac{2\pi}{\lambda}\,x \;-\; 2\pi\,f\,t = 2\pi\Bigl(\tfrac{x}{\lambda} - f\,t\Bigr),
logo a segunda forma é
y = y_{m}\sin\!2\pi\Bigl(\tfrac{x}{\lambda} - f\,t\Bigr).

Passo 4

Como já vimos que k=\omega/v, podemos escrever
kx = \omega\,\frac{x}{v} \quad\Longrightarrow\quad kx - \omega t = \omega\Bigl(\tfrac{x}{v} - t\Bigr),
o que dá a terceira forma:
y = y_{m}\sin\!\omega\Bigl(\tfrac{x}{v} - t\Bigr).

Passo 5

Finalmente, usando T = \tfrac1f (ou seja, f\,t = t/T), aplicamos isso à forma do passo 3 para obter
y = y_{m}\sin\!2\pi\Bigl(\tfrac{x}{\lambda} - \tfrac{t}{T}\Bigr).

Resposta

y = y_{m}\sin k(x - v t), \quad y = y_{m}\sin 2\pi\Bigl(\tfrac{x}{\lambda} - f\,t\Bigr), \quad y = y_{m}\sin \omega\Bigl(\tfrac{x}{v} - t\Bigr), \quad y = y_{m}\sin 2\pi\Bigl(\tfrac{x}{\lambda} - \tfrac{t}{T}\Bigr).

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