Questão 6 ( 10 pontos) Você está a passeio no centro de uma cidade turística muito plana. Você carrega em mãos o mapa da cidade, que apresenta o eixo x indo da esquerda à direita (de oeste a leste), e o eixo y indo de baixo para cima (de sul a norte) no mapa. A origem do sistema de coordenadas está na praça principal da cidade, e sua posição inicial está em (30 \hat{i}+15 \hat{j}) \mathrm{m}. Você localiza um restaurante interessante no mapa e se desloca em direção ao mesmo, andando 5 m no sentido +\hat{i}, depois 20 m no sentido +\hat{j}, mais 10 m no sentido +\hat{i} e mais 10 m no sentido +\hat{j}, chegando na posição ( 45 \hat{i}+45 \hat{j} ) m depois de 15 s . Determine a sua velocidade média durante este trajeto.
Resolução: A velocidade média é, por definição, dada por \vec{v}_{M}=\frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}=\frac{\vec{r}_{f}-\vec{r}_{i}}{t_{f}-t_{i}}, ou seja, apenas importa a posição final \vec{r}_{f} no tempo final t_{f}, e a posição final \vec{r}_{i} no tempo final t_{i}. Obviamente, o deslocamento \Delta \vec{r} da posição inicial até a posição do restaurante deve ser a soma vetorial de todas as etapas do delocamento. No caso da versão A da prova, temos
\begin{aligned} \Delta \vec{r} & =5 \mathrm{~m}(+\hat{i})+20 \mathrm{~m}(+\hat{j})+10 \mathrm{~m}(+\hat{i})+10 \mathrm{~m}(+\hat{j})=(5 \mathrm{~m}+10 \mathrm{~m}) \hat{i}+(20 \mathrm{~m}+10 \mathrm{~m}) \hat{j} \\\ & =(15 \hat{i}+30 \hat{j}) \mathrm{m}=(45 \hat{i}+45 \hat{j}) \mathrm{m}-(30 \hat{i}+15 \hat{j}) \mathrm{m} \\\ \vec{v}_{M} & =\frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}=\frac{(15 \hat{i}+30 \hat{j}) \mathrm{m}}{15 \mathrm{~s}}=(1 \hat{i}+2 \hat{j}) \mathrm{m} / \mathrm{s} \end{aligned}
Prova \vec{r}_{i}(\mathrm{~m}) \vec{r}_{f}(\mathrm{~m}) \Delta \vec{r}(\mathrm{~m}) \Delta t(\mathrm{~s}) \vec{v}_{M}(\mathrm{~m} / \mathrm{s})
A (30 \hat{i}+15 \hat{j}) (45 \hat{i}+45 \hat{j}) (15 \hat{i}+30 \hat{j}) 15 (1 \hat{i}+2 \hat{j})
B (20 \hat{i}+20 \hat{j}) (60 \hat{i}+40 \hat{j}) (40 \hat{i}+20 \hat{j}) 20 (2 \hat{i}+1 \hat{j})
C (45 \hat{i}+15 \hat{j}) (15 \hat{i}+30 \hat{j}) (-30 \hat{i}+15 \hat{j}) 15 (-2 \hat{i}+1 \hat{j})
D ( 40 \hat{i}-20 \hat{j} ) (20 \hat{i}+20 \hat{j}) ( -20 \hat{i}+40 \hat{j} ) 20 ( -1 \hat{i}+2 \hat{j} )

Passo 1

O enunciado trata de cinemática vetorial no plano: sua posição inicial é \vec r_i=(30\hat\imath+15\hat\jmath)\,\mathrm{m}, você anda segmentos em \hat\imath e \hat\jmath totalizando 15 s de passeio, e chega em \vec r_f=(45\hat\imath+45\hat\jmath)\,\mathrm{m}. Precisamos usar a definição de velocidade média,
\vec v_M=\frac{\Delta\vec r}{\Delta t}\,,
onde \Delta\vec r=\vec r_f-\vec r_i e \Delta t=t_f-t_i.

Passo 2

Calculamos o deslocamento total \Delta\vec r subtraindo posição final e inicial:
\Delta\vec r =\vec r_f-\vec r_i =(45\hat\imath+45\hat\jmath)\,\mathrm{m}-(30\hat\imath+15\hat\jmath)\,\mathrm{m} =(15\hat\imath+30\hat\jmath)\,\mathrm{m}.

Passo 3

Agora dividimos \Delta\vec r pelo intervalo de tempo \Delta t=15\,\mathrm{s}:
\vec v_M =\frac{(15\hat\imath+30\hat\jmath)\,\mathrm{m}}{15\,\mathrm{s}} =(1\hat\imath+2\hat\jmath)\,\mathrm{m/s}.

Resposta

(1\hat\imath+2\hat\jmath)\,\mathrm{m/s}

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