Mostre que
y^{\prime}(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n a_{n} x^{n-1}

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que ele pede (tudo que podemos extrair do enunciado):
  • Nos é dada uma série de potências cuja soma é a função y(x). Vou escrever explicitamente essa série como
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n},
onde os a_{n} são constantes.
  • Existe um raio de convergência R>0 da série (isto é sempre parte implícita de uma série de potências não-trivial).
  • O que se pede: mostrar que a derivada de y pode ser obtida termo a termo, isto é, provar a igualdade
y^{\prime}(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n a_{n} x^{n-1}
para os x onde a série converge (ou seja, para |x|<R).

Passo 2

Plano do que vamos usar (ferramentas e ideias, explicado de forma didática):
  • Teorema da média (para polinômios): para cada inteiro n e para x,h com h\neq0 existe \xi entre x e x+h tal que
\frac{(x+h)^{n}-x^{n}}{h}=n\,\xi^{\,n-1}.
Isto nos dá um controle absoluto do quociente incremental de cada termo.
  • Critério de comparação (teste de Weierstrass / M-test): se conseguimos uma sequência M_{n} com \sum M_{n}<\infty e tal que cada termo da série de funções em módulo é \le M_{n}, então a série de funções converge uniformemente. Convergência uniforme nos permite trocar limite e soma.
  • Fato sobre o raio de convergência da série derivada: a série \sum_{n=1}^{\infty} n a_{n} x^{n-1} tem o mesmo raio de convergência R que \sum a_{n} x^{n}. Um argumento rápido: pela fórmula de Cauchy–Hadamard
\frac{1}{R}=\limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n},
e como \lim_{n\to\infty} n^{1/n}=1, tem-se
\limsup_{n\to\infty} |n a_n|^{1/n}=\limsup_{n\to\infty} n^{1/n}|a_n|^{1/n}=\limsup_{n\to\infty}|a_n|^{1/n},
logo o raio não muda. Vou usar esses fatos para justificar trocas de limite e para garantir convergência das séries de comparação.

Passo 3

Começamos pela expressão do quociente incremental da função y. Para h\neq0 temos
\frac{y(x+h)-y(x)}{h}=\frac{1}{h}\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\bigl((x+h)^{n}-x^{n}\bigr).
Podemos reescrever como
\frac{y(x+h)-y(x)}{h}=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\frac{(x+h)^{n}-x^{n}}{h}.
Esta igualdade formal é a soma termo a termo do quociente; o passo crucial é justificar que essa soma de funções pode ser tratada uniformemente para trocar o limite h\to0 com a soma infinita. Para isso vamos construir uma comparação aplicando a média e o raio de convergência.

Passo 4

Fixe um x com |x|<R. Para tornar os argumentos de uniformidade mais claros, escolha um raio intermediário r tal que |x|\le r e r<R. Tome também \delta>0 pequeno tal que r+\delta<R. Assim trabalharemos com todos os x com |x|\le r e todos os h com |h|\le\delta; então para esses x,h vale |\xi|\le r+\delta (onde \xi é o ponto da média usada abaixo).
Pela média aplicada ao polinômio t\mapsto t^{n} obtemos, para cada n\ge1 e para esses x,h,
\left|\frac{(x+h)^{n}-x^{n}}{h}\right|=n\,|\xi|^{\,n-1}\le n (r+\delta)^{\,n-1}.
Logo, para esses x,h,
\left|a_{n}\frac{(x+h)^{n}-x^{n}}{h}\right|\le |a_{n}|\, n (r+\delta)^{\,n-1}.
Defina
M_{n}:=|a_{n}|\, n (r+\delta)^{\,n-1}.
Como discutido no Passo 2, a série \sum_{n=1}^{\infty} n a_{n} z^{\,n-1} tem raio de convergência R, portanto, tomando |z|=r+\delta<R, a série \sum_{n=1}^{\infty} M_{n}=\sum_{n=1}^{\infty} |a_{n}|\, n (r+\delta)^{\,n-1} converge. Assim os M_{n} fornecem uma série de termo dominante convergente.
Pelo teste de Weierstrass (M-test), a série
\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\frac{(x+h)^{n}-x^{n}}{h}
converge uniformemente para |x|\le r e |h|\le\delta. Em particular, podemos trocar o limite h\to0 com a soma infinita (porque temos uma família de funções em h que converge uniformemente).

Passo 5

Agora fazemos a troca de limite/soma com segurança. Para cada n fixo,
\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^{n}-x^{n}}{h}=n x^{\,n-1},
pois cada termo é um polinômio e seu quociente incremental tende ao coeficiente do termo linear pela definição da derivada de t^{n}. Aplicando a troca de limite com a soma (justificada pelo passo anterior), obtemos
\lim_{h\to0}\frac{y(x+h)-y(x)}{h} =\lim_{h\to0}\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\frac{(x+h)^{n}-x^{n}}{h} =\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\,\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^{n}-x^{n}}{h}.
Ao substituir os limites de cada termo chega-se a
y^{\prime}(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\, n x^{\,n-1}.
Note que o termo n=0 é zero, por isso a soma pode ser escrita também como
y^{\prime}(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n a_{n} x^{\,n-1}.

Passo 6

Observações finais e conclusão didática:
  • A igualdade é válida para todo x com |x|<R, isto é, dentro do raio de convergência da série original.
  • A série do lado direito tem o mesmo raio de convergência R, então a representação por série da derivada é legítima nessa região.
  • O argumento essencial foi: escrever o quociente incremental como soma termo a termo, dominar cada termo por uma sequência M_{n} cuja série converge (M-test) e então trocar limite e soma; finalmente reconhecer o limite de cada termo como n a_{n} x^{n-1}.

Resposta

y^{\prime}(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n a_{n} x^{n-1}

Exercícios relacionados