O que o enunciado nos dá e o que ele pede (tudo que podemos extrair do enunciado):
Nos é dada uma série de potências cuja soma é a função y(x). Vou escrever explicitamente essa série como
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n},
onde os a_{n} são constantes.
Existe um raio de convergência R>0 da série (isto é sempre parte implícita de uma série de potências não-trivial).
O que se pede: mostrar que a derivada de y pode ser obtida termo a termo, isto é, provar a igualdade
y^{\prime}(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n a_{n} x^{n-1}
para os x onde a série converge (ou seja, para |x|<R).
Passo 2
Plano do que vamos usar (ferramentas e ideias, explicado de forma didática):
Teorema da média (para polinômios): para cada inteiro n e para x,h com h\neq0 existe \xi entre x e x+h tal que
\frac{(x+h)^{n}-x^{n}}{h}=n\,\xi^{\,n-1}.
Isto nos dá um controle absoluto do quociente incremental de cada termo.
Critério de comparação (teste de Weierstrass / M-test): se conseguimos uma sequência M_{n} com \sum M_{n}<\infty e tal que cada termo da série de funções em módulo é \le M_{n}, então a série de funções converge uniformemente. Convergência uniforme nos permite trocar limite e soma.
Fato sobre o raio de convergência da série derivada: a série \sum_{n=1}^{\infty} n a_{n} x^{n-1} tem o mesmo raio de convergência R que \sum a_{n} x^{n}. Um argumento rápido: pela fórmula de Cauchy–Hadamard
Esta igualdade formal é a soma termo a termo do quociente; o passo crucial é justificar que essa soma de funções pode ser tratada uniformemente para trocar o limite h\to0 com a soma infinita. Para isso vamos construir uma comparação aplicando a média e o raio de convergência.
Passo 4
Fixe um x com |x|<R. Para tornar os argumentos de uniformidade mais claros, escolha um raio intermediário r tal que |x|\le r e r<R. Tome também \delta>0 pequeno tal que r+\delta<R. Assim trabalharemos com todos os x com |x|\le r e todos os h com |h|\le\delta; então para esses x,h vale |\xi|\le r+\delta (onde \xi é o ponto da média usada abaixo).
Pela média aplicada ao polinômio t\mapsto t^{n} obtemos, para cada n\ge1 e para esses x,h,
\left|\frac{(x+h)^{n}-x^{n}}{h}\right|=n\,|\xi|^{\,n-1}\le n (r+\delta)^{\,n-1}.
Logo, para esses x,h,
\left|a_{n}\frac{(x+h)^{n}-x^{n}}{h}\right|\le |a_{n}|\, n (r+\delta)^{\,n-1}.
Defina
M_{n}:=|a_{n}|\, n (r+\delta)^{\,n-1}.
Como discutido no Passo 2, a série \sum_{n=1}^{\infty} n a_{n} z^{\,n-1} tem raio de convergência R, portanto, tomando |z|=r+\delta<R, a série \sum_{n=1}^{\infty} M_{n}=\sum_{n=1}^{\infty} |a_{n}|\, n (r+\delta)^{\,n-1} converge. Assim os M_{n} fornecem uma série de termo dominante convergente.
converge uniformemente para |x|\le r e |h|\le\delta. Em particular, podemos trocar o limite h\to0 com a soma infinita (porque temos uma família de funções em h que converge uniformemente).
Passo 5
Agora fazemos a troca de limite/soma com segurança. Para cada n fixo,
pois cada termo é um polinômio e seu quociente incremental tende ao coeficiente do termo linear pela definição da derivada de t^{n}. Aplicando a troca de limite com a soma (justificada pelo passo anterior), obtemos
y^{\prime}(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\, n x^{\,n-1}.
Note que o termo n=0 é zero, por isso a soma pode ser escrita também como
y^{\prime}(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n a_{n} x^{\,n-1}.
Passo 6
Observações finais e conclusão didática:
A igualdade é válida para todo x com |x|<R, isto é, dentro do raio de convergência da série original.
A série do lado direito tem o mesmo raio de convergência R, então a representação por série da derivada é legítima nessa região.
O argumento essencial foi: escrever o quociente incremental como soma termo a termo, dominar cada termo por uma sequência M_{n} cuja série converge (M-test) e então trocar limite e soma; finalmente reconhecer o limite de cada termo como n a_{n} x^{n-1}.