Mostre que y_{1}(x)=x é uma solução da equação de Legendre \left(1-x^{2}\right) y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}+ 2 y=0, e determine um Conjunto Fundamental de Soluções, desta equação. Sugestão: y_{2}(x)=u(x) y_{1}(x) (método de Redução de Ordem).
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
Mostrar que y_{1}(x)=x é uma solução da equação
(1-x^{2})\,y''-2x\,y'+2y=0.
Determinar um Conjunto Fundamental de Soluções (duas soluções linearmente independentes) dessa equação.
Informações dadas:
A equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes dependentes de x está explicitada acima.
Sugestão: procurar a segunda solução na forma y_{2}(x)=u(x)\,y_{1}(x) (método de redução de ordem), onde y_{1}(x)=x.
Passo 2
Verificar que y_{1}(x)=x é solução. Primeiro calcule as derivadas:
Portanto y_{1}(x)=x satisfaz a equação e é, de fato, uma solução.
Passo 3
Explicação do método (redução de ordem) de forma simples: como já conhecemos uma solução y_{1}, procuramos a segunda solução na forma
y_{2}(x)=u(x)\,y_{1}(x)=u(x)\,x,
onde u(x) é uma função a determinar. A ideia é inserir y_{2} na equação e obter uma equação de ordem reduzida para u (normalmente uma equação de primeira ordem para u').
Passo 4
Calcule as derivadas de y_{2}:
y_{2}'=u' x + u,\qquad y_{2}''=u'' x + 2u'.
Substituindo na equação original:
(1-x^{2})(u'' x + 2u') - 2x(u' x + u) + 2(u x)=0.
Simplificando termo a termo: os termos -2x u e +2u x cancelam, ficando
Construir y_{2}=u(x)\,x. Podemos escolher C_{1}=1 e C_{2}=0 para obter uma forma simples de segunda solução (constantes multiplicativas e somas com múltiplas de y_{1} só mudam a combinação linear):