Mostre que y_{1}(x)=x é uma solução da equação de Legendre \left(1-x^{2}\right) y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}+ 2 y=0, e determine um Conjunto Fundamental de Soluções, desta equação. Sugestão: y_{2}(x)=u(x) y_{1}(x) (método de Redução de Ordem).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Mostrar que y_{1}(x)=x é uma solução da equação
(1-x^{2})\,y''-2x\,y'+2y=0.
  • Determinar um Conjunto Fundamental de Soluções (duas soluções linearmente independentes) dessa equação.
    Informações dadas:
  • A equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes dependentes de x está explicitada acima.
  • Sugestão: procurar a segunda solução na forma y_{2}(x)=u(x)\,y_{1}(x) (método de redução de ordem), onde y_{1}(x)=x.

Passo 2

Verificar que y_{1}(x)=x é solução. Primeiro calcule as derivadas:
y_{1}'(x)=1,\qquad y_{1}''(x)=0.
Substituindo na equação:
(1-x^{2})\cdot 0 - 2x\cdot 1 + 2\cdot x = -2x + 2x = 0.
Portanto y_{1}(x)=x satisfaz a equação e é, de fato, uma solução.

Passo 3

Explicação do método (redução de ordem) de forma simples: como já conhecemos uma solução y_{1}, procuramos a segunda solução na forma
y_{2}(x)=u(x)\,y_{1}(x)=u(x)\,x,
onde u(x) é uma função a determinar. A ideia é inserir y_{2} na equação e obter uma equação de ordem reduzida para u (normalmente uma equação de primeira ordem para u').

Passo 4

Calcule as derivadas de y_{2}:
y_{2}'=u' x + u,\qquad y_{2}''=u'' x + 2u'.
Substituindo na equação original:
(1-x^{2})(u'' x + 2u') - 2x(u' x + u) + 2(u x)=0.
Simplificando termo a termo: os termos -2x u e +2u x cancelam, ficando
x(1-x^{2})u'' + \bigl(2(1-x^{2}) - 2x^{2}\bigr)u' = 0.
Reescrevendo o coeficiente de u':
2(1-x^{2}) - 2x^{2} = 2 - 4x^{2} = 2(1-2x^{2}).
Logo a equação para u é
x(1-x^{2})u'' + 2(1-2x^{2})u' = 0.

Passo 5

Reduzir a ordem definindo v(x)=u'(x). Assim obtemos uma equação de primeira ordem para v:
x(1-x^{2})v' + 2(1-2x^{2})v = 0.
Colocando em forma padrão e separando variáveis:
\frac{v'}{v} = -\frac{2(1-2x^{2})}{x(1-x^{2})}.
Portanto
\frac{dv}{v} = -\frac{2(1-2x^{2})}{x(1-x^{2})}\,dx.

Passo 6

Para integrar o lado direito, decomponha em frações parciais:
\frac{2(1-2x^{2})}{x(1-x^{2})}=\frac{2}{x}-\frac{1}{1-x}+\frac{1}{1+x}.
(Esse resultado obtém-se resolvendo a equação de identidades para coeficientes; se quiser, pode checar multiplicando ambos os lados por x(1-x^{2}).)

Passo 7

Integrando os dois lados:
\ln|v|=\int\left(-\frac{2}{x}+\frac{1}{1-x}-\frac{1}{1+x}\right)dx.
Calcule as primitivas:
\int -\frac{2}{x}\,dx = -2\ln|x|,\qquad \int \frac{1}{1-x}\,dx = -\ln|1-x|,\qquad \int -\frac{1}{1+x}\,dx = -\ln|1+x|.
Somando,
\ln|v| = -2\ln|x| - \ln|1-x| - \ln|1+x| + C = -\ln\bigl(x^{2}(1-x^{2})\bigr) + C.
Assim
v(x)=u'(x)=\frac{C_{1}}{x^{2}(1-x^{2})},
onde C_{1}=e^{C} é constante.

Passo 8

Agora integramos u'(x) para obter u(x). Precisamos calcular
\int \frac{dx}{x^{2}(1-x^{2})}.
Fazendo decomposição em frações parciais:
\frac{1}{x^{2}(1-x^{2})}=\frac{1}{x^{2}}+\frac{1/2}{1-x}+\frac{1/2}{1+x}.
Integrando,
\int \frac{dx}{x^{2}(1-x^{2})} = \int \frac{dx}{x^{2}} + \frac{1}{2}\int\frac{dx}{1-x} + \frac{1}{2}\int\frac{dx}{1+x} = -\frac{1}{x} + \frac{1}{2}\ln\!\left|\frac{1+x}{1-x}\right| + C_{2}.
Multiplicando pela constante C_{1} e somando a constante de integração C_{2}, obtemos
u(x)=C_{1}\!\left(-\frac{1}{x} + \frac{1}{2}\ln\!\left|\frac{1+x}{1-x}\right|\right) + C_{2}.

Passo 9

Construir y_{2}=u(x)\,x. Podemos escolher C_{1}=1 e C_{2}=0 para obter uma forma simples de segunda solução (constantes multiplicativas e somas com múltiplas de y_{1} só mudam a combinação linear):
y_{2}(x)=x\left(-\frac{1}{x} + \frac{1}{2}\ln\!\left|\frac{1+x}{1-x}\right|\right) = -1 + \frac{x}{2}\ln\!\left|\frac{1+x}{1-x}\right|.
Portanto uma segunda solução é
y_{2}(x)=\frac{x}{2}\ln\!\left|\frac{1+x}{1-x}\right| - 1.

Passo 10

Verificar independência linear (rápido check com o Wronskiano). Calcule o Wronskiano W(y_{1},y_{2}):
y_{1}=x,\qquad y_{2}'=\frac{1}{2}\ln\!\left|\frac{1+x}{1-x}\right| + \frac{x}{1-x^{2}}.
Então
W(y_{1},y_{2})= \begin{vmatrix} x & y_{2} \\[4pt] 1 & y_{2}' \end{vmatrix} = x y_{2}' - y_{2} = \frac{1}{1-x^{2}},
que é diferente de zero para |x|<1. Assim y_{1} e y_{2} são linearmente independentes nesse intervalo e formam um conjunto fundamental de soluções.]

Resposta

y_{1}(x)=x é solução.
Um Conjunto Fundamental de Soluções é
\left\{\,x,\; \dfrac{x}{2}\ln\!\left(\dfrac{1+x}{1-x}\right) - 1\,\right\}.

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