O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
y'=\frac{2xy}{y^{2}-x^{2}}
e pede encontrar a solução geral. Informações relevantes fornecidas:
A equação relaciona y'=dy/dx, x e y.
O denominador y^{2}-x^{2} pode anular-se quando y=\pm x; nesses pontos a equação original fica singular.
O objetivo é obter a família de soluções (constante de integração incluída), e também identificar eventuais soluções singulares (retações) incluídas no conjunto solução.
Passo 2
Vamos procurar uma mudança de variável adequada. Observando a razão à direita, note que se dividirmos numerador e denominador por x^{2} obtemos uma função de \dfrac{y}{x}:
Isto indica que a equação é homogênea de grau zero e que a substituição clássica para esse caso é:
v=\frac{y}{x}\quad\text{ou seja}\quad y=vx.
Explico: a ideia é transformar a dependência y(x) numa dependência v(x) que muitas vezes permite separar variáveis. Também precisamos da derivada y' em termos de v e dv/dx. Diferenciando y=vx obtemos
y' = v + x\frac{dv}{dx}.
Passo 3
Substituímos y=vx e y'=v+x\,dv/dx na equação original:
v+x\frac{dv}{dx}=\frac{2x\cdot (v x)}{(v x)^{2}-x^{2}}.
Simplificando o lado direito:
\frac{2x\cdot v x}{x^{2}(v^{2}-1)}=\frac{2v}{v^{2}-1}.
Para \displaystyle \int \frac{v}{3-v^{2}}\,dv fazemos u=3-v^{2}, du=-2v\,dv, então \displaystyle \int \frac{v}{3-v^{2}}\,dv=-\frac{1}{2}\ln|3-v^{2}|.
Multiplicando pelo fator \dfrac{2}{3} resulta -\dfrac{1}{3}\ln|3-v^{2}|.
Somando as partes:
onde C_{2}=e^{C_{1}}>0. Eliminando o valor absoluto e absorvendo sinais na constante arbitrária, escrevemos a solução implícita (constante arbitrária C\in\mathbb{R}):
Multiplicando por x^{3} (assumindo x\neq 0; a solução pode ser estendida por continuidade quando possível):
y(3x^{2}-y^{2})=C.
Esta é a solução implícita geral. Observações finais úteis:
A constante C é arbitrária real.
Para C=0 a relação fica y(3x^{2}-y^{2})=0, que dá as soluções particulares y=0 e y=\pm\sqrt{3}\,x. Essas linhas retas são soluções (checar: por exemplo y=\sqrt{3}\,x satisfaz a ODE).
As curvas onde y^{2}=x^{2} (i.e. y=\pm x) desaparecem do domínio da equação original porque tornam o denominador zero; portanto a solução é considerada em domínios onde y^{2}\neq x^{2}.