Resolva:
y^{\prime}=\frac{2 x y}{y^{2}-x^{2}},

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
y'=\frac{2xy}{y^{2}-x^{2}}
e pede encontrar a solução geral. Informações relevantes fornecidas:
  • A equação relaciona y'=dy/dx, x e y.
  • O denominador y^{2}-x^{2} pode anular-se quando y=\pm x; nesses pontos a equação original fica singular.
  • O objetivo é obter a família de soluções (constante de integração incluída), e também identificar eventuais soluções singulares (retações) incluídas no conjunto solução.

Passo 2

Vamos procurar uma mudança de variável adequada. Observando a razão à direita, note que se dividirmos numerador e denominador por x^{2} obtemos uma função de \dfrac{y}{x}:
\frac{2xy}{y^{2}-x^{2}}=\frac{2\left(\dfrac{y}{x}\right)}{\left(\dfrac{y}{x}\right)^{2}-1}.
Isto indica que a equação é homogênea de grau zero e que a substituição clássica para esse caso é:
v=\frac{y}{x}\quad\text{ou seja}\quad y=vx.
Explico: a ideia é transformar a dependência y(x) numa dependência v(x) que muitas vezes permite separar variáveis. Também precisamos da derivada y' em termos de v e dv/dx. Diferenciando y=vx obtemos
y' = v + x\frac{dv}{dx}.

Passo 3

Substituímos y=vx e y'=v+x\,dv/dx na equação original:
v+x\frac{dv}{dx}=\frac{2x\cdot (v x)}{(v x)^{2}-x^{2}}.
Simplificando o lado direito:
\frac{2x\cdot v x}{x^{2}(v^{2}-1)}=\frac{2v}{v^{2}-1}.
Portanto
v+x\frac{dv}{dx}=\frac{2v}{v^{2}-1}.
Isolando x\,dv/dx:
x\frac{dv}{dx}=\frac{2v}{v^{2}-1}-v.
Colocando no mesmo denominador:
\frac{2v}{v^{2}-1}-v=\frac{2v - v(v^{2}-1)}{v^{2}-1}=\frac{2v - v^{3}+v}{v^{2}-1}=\frac{v(3-v^{2})}{v^{2}-1}.
Logo obtemos a equação para v:
x\frac{dv}{dx}=\frac{v(3-v^{2})}{v^{2}-1}.

Passo 4

Agora separamos variáveis, levando todos os termos em v para um lado e x para o outro:
\frac{v^{2}-1}{v(3-v^{2})}\,dv=\frac{dx}{x}.
Expliquei o passo: multiplica-se ambos os lados por \dfrac{v^{2}-1}{v(3-v^{2})} e por dx/x para obter duas integrais separadas.

Passo 5

Precisamos integrar o lado esquerdo. Fazemos decomposição em frações parciais. Escrevemos
\frac{v^{2}-1}{v(3-v^{2})}=\frac{A}{v}+\frac{Bv+C}{3-v^{2}}.
Multiplicando por v(3-v^{2})\) obtemos a identidade: \[v^{2}-1=A(3-v^{2})+v(Bv+C)=3A-Av^{2}+Bv^{2}+Cv.
Comparando coeficientes para os termos em v^{2}, v e constante:
\begin{cases} - A + B = 1,\\[4pt] C = 0,\\[4pt] 3A = -1. \end{cases}
Daí A=-\dfrac{1}{3}\], \(B=\dfrac{2}{3}, C=0. Assim
\frac{v^{2}-1}{v(3-v^{2})}=-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{v}+\frac{2}{3}\cdot\frac{v}{3-v^{2}}.]

Passo 6

Integramos termo a termo:
\int\left(-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{v}+\frac{2}{3}\cdot\frac{v}{3-v^{2}}\right)dv=\int\frac{dx}{x}.
Calculando as primitivas:
  • \displaystyle \int -\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{v}\,dv=-\frac{1}{3}\ln|v|.
  • Para \displaystyle \int \frac{v}{3-v^{2}}\,dv fazemos u=3-v^{2}, du=-2v\,dv, então \displaystyle \int \frac{v}{3-v^{2}}\,dv=-\frac{1}{2}\ln|3-v^{2}|.
    Multiplicando pelo fator \dfrac{2}{3} resulta -\dfrac{1}{3}\ln|3-v^{2}|.
    Somando as partes:
-\frac{1}{3}\ln|v|-\frac{1}{3}\ln|3-v^{2}|=\ln|x|+C,
onde C é constante de integração.

Passo 7

Combinando os logaritmos:
-\frac{1}{3}\ln\bigl(|v|\;|3-v^{2}|\bigr)=\ln|x|+C.
Multiplicando por -3:
\ln\bigl(|v|\;|3-v^{2}|\bigr)=-3\ln|x|+C_{1},
com C_{1}=-3C. Exponenciando:
|v|( |3-v^{2}|)=C_{2}\,|x|^{-3},
onde C_{2}=e^{C_{1}}>0. Eliminando o valor absoluto e absorvendo sinais na constante arbitrária, escrevemos a solução implícita (constante arbitrária C\in\mathbb{R}):
v(3-v^{2})=C x^{-3}.

Passo 8

Voltando à variável original y com v=y/x, obtemos
\frac{y}{x}\left(3-\frac{y^{2}}{x^{2}}\right)=C x^{-3}.
Simplificando:
\frac{y(3x^{2}-y^{2})}{x^{3}}=C x^{-3}.
Multiplicando por x^{3} (assumindo x\neq 0; a solução pode ser estendida por continuidade quando possível):
y(3x^{2}-y^{2})=C.
Esta é a solução implícita geral. Observações finais úteis:
  • A constante C é arbitrária real.
  • Para C=0 a relação fica y(3x^{2}-y^{2})=0, que dá as soluções particulares y=0 e y=\pm\sqrt{3}\,x. Essas linhas retas são soluções (checar: por exemplo y=\sqrt{3}\,x satisfaz a ODE).
  • As curvas onde y^{2}=x^{2} (i.e. y=\pm x) desaparecem do domínio da equação original porque tornam o denominador zero; portanto a solução é considerada em domínios onde y^{2}\neq x^{2}.

Resposta

y(3x^{2}-y^{2})=C

Exercícios relacionados