Os restos das divisões dos inteiros 4933 e 4435 por um inteiro positivo
são respectivamente 37 e 19. Determine o inteiro
.
Passo 1
O enunciado dá duas informações sobre restos da divisão por um inteiro positivo
:
- Ao dividir
por , o resto é . - Ao dividir
por , o resto é .
O que se pede é determinar o(s) valor(es) possível(is) de
. Vou listar explicitamente as informações importantes que vamos usar:
- Temos os restos
e . - Pela definição de resto,
e , em particular . - As duas igualdades que representam os restos serão transformadas em condições de divisibilidade para encontrar
.
Passo 2
Traduzindo as informações em congruências (isso é apenas uma forma organizada de escrever “tem resto”):
Explicando: a congruência
significa que
é múltiplo de
, i.e.,
divide
.
Passo 3
Aplicando a ideia acima, subtraio os restos dos números dados para obter múltiplos de
:
Ou seja,
divide tanto
quanto
. Em notação:
Passo 4
Se
divide dois números, então
divide o máximo divisor comum (mdc) desses números. Logo
divide
. Vou calcular esse
pelo algoritmo de Euclides, passo a passo:
Primeiro, subtraio para simplificar:
Agora aplico o algoritmo:
Faço a divisão de
por
:
Portanto
E
logo
. Assim
Passo 5
Concluímos que
divide
. Além disso lembramos da condição do resto:
. Portanto
deve ser um divisor positivo de
que seja maior que
.
Lista dos divisores positivos de
:
.
Filtrando os que são
restam apenas
Agora verifico rapidamente que ambos realmente produzem os restos indicados (só para ficar tranquilo):
Para :
Para
Para
:
Em ambos os casos os restos coincidem com os dados, então ambos os valores são válidos.