Os restos das divisões dos inteiros 4933 e 4435 por um inteiro positivo n são respectivamente 37 e 19. Determine o inteiro n.

Passo 1

O enunciado dá duas informações sobre restos da divisão por um inteiro positivo n:
  • Ao dividir 4933 por n, o resto é 37.
  • Ao dividir 4435 por n, o resto é 19.
O que se pede é determinar o(s) valor(es) possível(is) de n. Vou listar explicitamente as informações importantes que vamos usar:
  • Temos os restos 37 e 19.
  • Pela definição de resto, 0 \le 37 < n e 0 \le 19 < n, em particular n>37.
  • As duas igualdades que representam os restos serão transformadas em condições de divisibilidade para encontrar n.

Passo 2

Traduzindo as informações em congruências (isso é apenas uma forma organizada de escrever “tem resto”):
4933 \equiv 37 \pmod{n}, \qquad 4435 \equiv 19 \pmod{n}.
Explicando: a congruência a\equiv r\pmod{n} significa que a-r é múltiplo de n, i.e., n divide a-r.

Passo 3

Aplicando a ideia acima, subtraio os restos dos números dados para obter múltiplos de n:
4933-37 = 4896 \quad\text{é múltiplo de } n,éú
4435-19 = 4416 \quad\text{é múltiplo de } n.éú
Ou seja, n divide tanto 4896 quanto 4416. Em notação:
n \mid 4896 \quad\text{e}\quad n \mid 4416.

Passo 4

Se n divide dois números, então n divide o máximo divisor comum (mdc) desses números. Logo n divide \gcd(4896,4416). Vou calcular esse \gcd pelo algoritmo de Euclides, passo a passo:
Primeiro, subtraio para simplificar:
4896-4416 = 480.
Agora aplico o algoritmo:
\gcd(4896,4416)=\gcd(4416,480).
Faço a divisão de 4416 por 480:
4416 = 480\cdot 9 + 96.
Portanto
\gcd(4416,480)=\gcd(480,96).
E
480 = 96\cdot 5 + 0,
logo \gcd(480,96)=96. Assim
\gcd(4896,4416)=96.

Passo 5

Concluímos que n divide 96. Além disso lembramos da condição do resto: n>37. Portanto n deve ser um divisor positivo de 96 que seja maior que 37.
Lista dos divisores positivos de 96: 1,2,3,4,6,8,12,16,24,32,48,96.
Filtrando os que são >37 restam apenas
48\quad\text{e}\quad 96.
Agora verifico rapidamente que ambos realmente produzem os restos indicados (só para ficar tranquilo):
Para n=48:
4933 = 48\cdot 102 + 37, \qquad 4435 = 48\cdot 92 + 19.
Para n=96:
4933 = 96\cdot 51 + 37, \qquad 4435 = 96\cdot 46 + 19.
Em ambos os casos os restos coincidem com os dados, então ambos os valores são válidos.

Resposta

n = 48
n = 96

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