Mostre que y^{2}+x-3=0 é uma solução implícita para
\frac{d y}{d x}=-\frac{1}{2 y}
no intervalo (-\infty, 3).

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
y^{2}+x-3=0
e pede para mostrar que ela é uma solução implícita da equação diferencial
\frac{d y}{d x}=-\frac{1}{2 y}
no intervalo (-\infty,3).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A relação implícita define y por y^{2}=3-x.
  • Para x\in(-\infty,3) tem-se 3-x>0, logo y^{2}>0 e portanto y\neq0 nesse intervalo.
  • Precisamos verificar que, ao derivar a relação implícita em relação a x, obtemos exatamente \dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{1}{2y}.

Passo 2

Explicando a técnica que vamos usar (dá uma aula rápida): quando uma equação envolve y sem estar isolada, usamos diferenciação implícita. Tratamos y como função de x, escrevendo y=y(x), e aplicamos a regra da cadeia sempre que derivamos uma expressão que depende de y. Em particular, a derivada de y^{2} em relação a x é 2y\cdot \dfrac{dy}{dx} porque a derivada de u^{2} em relação a u é 2u e depois multiplicamos por du/dx.
Agora aplicamos isso à relação dada. Derivando ambos os lados de
y^{2}+x-3=0
em relação a x obtemos
\frac{d}{dx}\bigl(y^{2}\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(x\bigr)-\frac{d}{dx}(3)=0.

Passo 3

Calcule cada parcela usando as regras:
  • \dfrac{d}{dx}\bigl(y^{2}\bigr)=2y\cdot \dfrac{dy}{dx} (regra da cadeia, como explicado),
  • \dfrac{d}{dx}(x)=1,
  • \dfrac{d}{dx}(3)=0.
Substituindo:
2y\cdot\frac{dy}{dx}+1+0=0,
ou seja
2y\cdot\frac{dy}{dx}+1=0.

Passo 4

Isolando \dfrac{dy}{dx} na equação anterior:
2y\cdot\frac{dy}{dx}=-1 \quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{dx}=-\frac{1}{2y}.
Aqui há um ponto importante de cuidado: para dividir por 2y precisamos ter y\neq0. Mas, como observado no Passo 1, a relação y^{2}=3-x com x\in(-\infty,3) garante 3-x>0 e portanto y^{2}>0, isto é, y\neq0. Logo a divisão é válida no intervalo dado.

Passo 5

Para consolidar a compreensão, vale verificar também usando as soluções explícitas que a equação implícita determina: a relação y^{2}=3-x equivale a
y(x)=\sqrt{3-x}\quad\text{ou}\quad y(x)=-\sqrt{3-x}.
Aplicando a regra da cadeia à primeira:
\frac{d}{dx}\bigl(\sqrt{3-x}\bigr)=\frac{1}{2\sqrt{3-x}}\cdot(-1)=-\frac{1}{2\sqrt{3-x}}.
Como para essa rama y=\sqrt{3-x}, obtemos
\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{2y}.
Para a rama negativa,
y(x)=-\sqrt{3-x}\quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{3-x}}.
Mas agora y=-\sqrt{3-x}, então
-\frac{1}{2y}=-\frac{1}{2(-\sqrt{3-x})}=\frac{1}{2\sqrt{3-x}},
o que coincide com a derivada da rama negativa. Assim ambas as ramas satisfazem a equação diferencial em x\in(-\infty,3).

Passo 6

Conclusão direta: a diferenciação implícita da relação dada produz exatamente a expressão exigida pela equação diferencial, e a divisão por y é permitida porque y\neq0 para x<3. Portanto a curva definida por y^{2}+x-3=0 é uma solução implícita de
\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{2y}
no intervalo (-\infty,3).

Resposta

A relação y^{2}+x-3=0 é de fato uma solução implícita da equação \dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{1}{2y} no intervalo (-\infty,3).

Exercícios relacionados