Mostre que
é uma solução implícita para
no intervalo
.
Passo 1
O enunciado dá a relação implícita
e pede para mostrar que ela é uma solução implícita da equação diferencial
no intervalo
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A relação implícita define
por . - Para
tem-se , logo e portanto nesse intervalo. - Precisamos verificar que, ao derivar a relação implícita em relação a
, obtemos exatamente .
Passo 2
Explicando a técnica que vamos usar (dá uma aula rápida): quando uma equação envolve
sem estar isolada, usamos diferenciação implícita. Tratamos
como função de
, escrevendo
, e aplicamos a regra da cadeia sempre que derivamos uma expressão que depende de
. Em particular, a derivada de
em relação a
é
porque a derivada de
em relação a
é
e depois multiplicamos por
.
Agora aplicamos isso à relação dada. Derivando ambos os lados de
em relação a
obtemos
Passo 3
Calcule cada parcela usando as regras:
-
(regra da cadeia, como explicado), -
, -
.
Substituindo:
ou seja
Passo 4
Isolando
na equação anterior:
Aqui há um ponto importante de cuidado: para dividir por
precisamos ter
. Mas, como observado no Passo 1, a relação
com
garante
e portanto
, isto é,
. Logo a divisão é válida no intervalo dado.
Passo 5
Para consolidar a compreensão, vale verificar também usando as soluções explícitas que a equação implícita determina: a relação
equivale a
Aplicando a regra da cadeia à primeira:
Como para essa rama
, obtemos
Para a rama negativa,
Mas agora
, então
o que coincide com a derivada da rama negativa. Assim ambas as ramas satisfazem a equação diferencial em
.
Passo 6
Conclusão direta: a diferenciação implícita da relação dada produz exatamente a expressão exigida pela equação diferencial, e a divisão por
é permitida porque
para
. Portanto a curva definida por
é uma solução implícita de
no intervalo
.
Resposta
A relação
é de fato uma solução implícita da equação
no intervalo
.