Nos problemas a seguir, determine se a função dada é uma solução para a equação diferencial indicada.
Passo 1
O enunciado dá uma equação diferencial e uma função candidata. Explicitamente:
- Equação diferencial dada:
- Função candidata:
O que se pede: determinar se a função dada é uma solução da equação diferencial, isto é, verificar se, ao substituir essa função e suas derivadas na expressão da equação, ela satisfaz a igualdade para todo
onde as derivadas estão definidas.
Passo 2
Estratégia para verificar (explicação didática e didática das regras de derivação).
- Para checar se uma função é solução de uma equação diferencial, calcula-se as derivadas necessárias da função (aqui até a segunda derivada) e faz-se a substituição na equação; se a igualdade resultar verdadeira para todo
do domínio, então é solução. - Regras de derivação usadas aqui (lembrando como e por que):
- Regra do poder (power rule): a derivada de
é . Ex.: a derivada de é . - Derivada da função seno: a derivada de
é . - Derivada da função cosseno: a derivada de
é . - Derivada da soma é a soma das derivadas.
Essas regras são todas elementares e serão aplicadas passo a passo.
- Regra do poder (power rule): a derivada de
Passo 3
Calcular a primeira derivada
.
- Começando de
: - A derivada de
é pela regra do poder. - A derivada de
é .
- A derivada de
- Somando as derivadas:
Passo 4
Calcular a segunda derivada
.
- Derive
: - A derivada de
é (constante multiplicativa). - A derivada de
é .
- A derivada de
- Portanto:
Passo 5
Substituir
e
na equação diferencial e simplificar.
- A equação pede
. Substituindo:
- Agrupando termos semelhantes (observe que
e se anulam):
- Isso coincide exatamente com o lado direito da equação diferencial fornecida.
Passo 6
Interpretação final e conclusão didática.
- Como, ao substituir a função candidata e suas derivadas, a igualdade da equação diferencial é verdadeira para todo
(as derivadas existem para todo ), concluímos que a função satisfaz a equação diferencial em todo seu domínio. - Em palavras simples: os termos envolvendo
desapareceram (se cancelaram) entre e , sobrando exatamente , então a conta “fechou” perfeitamente — vitória!
Resposta
Sim,
é solução da equação diferencial.