Nos problemas a seguir, determine se a função dada é uma solução para a equação diferencial indicada.
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+y=x^{2}+2, \quad y=x^{2}+\operatorname{sen} x

Passo 1

O enunciado dá uma equação diferencial e uma função candidata. Explicitamente:
  • Equação diferencial dada: \frac{d^{2}y}{dx^{2}} + y = x^{2} + 2.
  • Função candidata: y = x^{2} + \sin x.
O que se pede: determinar se a função dada é uma solução da equação diferencial, isto é, verificar se, ao substituir essa função e suas derivadas na expressão da equação, ela satisfaz a igualdade para todo x onde as derivadas estão definidas.

Passo 2

Estratégia para verificar (explicação didática e didática das regras de derivação).
  • Para checar se uma função é solução de uma equação diferencial, calcula-se as derivadas necessárias da função (aqui até a segunda derivada) e faz-se a substituição na equação; se a igualdade resultar verdadeira para todo x do domínio, então é solução.
  • Regras de derivação usadas aqui (lembrando como e por que):
    • Regra do poder (power rule): a derivada de \,x^{n}\, é \,n x^{n-1}\,. Ex.: a derivada de \,x^{2}\, é \,2x.
    • Derivada da função seno: a derivada de \,\sin x\, é \,\cos x.
    • Derivada da função cosseno: a derivada de \,\cos x\, é -\sin x.
    • Derivada da soma é a soma das derivadas.
      Essas regras são todas elementares e serão aplicadas passo a passo.

Passo 3

Calcular a primeira derivada y'.
  • Começando de \;y = x^{2} + \sin x\;:
    • A derivada de \,x^{2}\, é \,2x pela regra do poder.
    • A derivada de \,\sin x\, é \,\cos x.
  • Somando as derivadas:
\frac{dy}{dx} = y' = 2x + \cos x.

Passo 4

Calcular a segunda derivada y''.
  • Derive y' = 2x + \cos x:
    • A derivada de \,2x\, é \,2 (constante multiplicativa).
    • A derivada de \,\cos x\, é -\sin x.
  • Portanto:
\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = y'' = 2 - \sin x.

Passo 5

Substituir y e y'' na equação diferencial e simplificar.
  • A equação pede y'' + y. Substituindo:
y'' + y = (2 - \sin x) + (x^{2} + \sin x).
  • Agrupando termos semelhantes (observe que -\sin x e +\sin x se anulam):
y'' + y = x^{2} + 2.
  • Isso coincide exatamente com o lado direito da equação diferencial fornecida.

Passo 6

Interpretação final e conclusão didática.
  • Como, ao substituir a função candidata e suas derivadas, a igualdade da equação diferencial é verdadeira para todo x (as derivadas existem para todo x\in\mathbb{R}), concluímos que a função satisfaz a equação diferencial em todo seu domínio.
  • Em palavras simples: os termos envolvendo \sin x desapareceram (se cancelaram) entre y e y'', sobrando exatamente x^{2}+2, então a conta “fechou” perfeitamente — vitória!

Resposta

Sim, y=x^{2}+\sin x é solução da equação diferencial.

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