- Mostre que a equação
Não tem solução considerando apenas o conjunto dos números reais.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para mostrar que ela não tem solução quando se considera apenas números reais. Informações relevantes que o enunciado fornece:
- Procura-se uma função
com valor real para cada (ou seja, ) e derivada real . - A equação deve ser satisfeita ponto a ponto, ou seja, para todo
do domínio em que a função e sua derivada estejam definidas.
Passo 2
Lembrete fundamental (propriedade de números reais) que vamos usar: para qualquer número real
vale
com igualdade somente quando
. Explicando devagar: ao elevar qualquer número real ao quadrado obtemos um número não negativo; por exemplo,
e
. Essa é uma propriedade básica dos números reais.
Passo 3
Aplique essa propriedade às quantidades presentes na equação. Como
é real para cada
, tem-se
Analogamente, como
é real,
Somando essas desigualdades e lembrando do termo constante
(que é positivo), obtemos, para todo
,
Passo 4
Da desigualdade do passo anterior segue que, para todo
,
Portanto o lado esquerdo da equação nunca pode ser igual a
, pois é sempre maior ou igual a
. Em particular, não existe
tal que
Passo 5
Argumento por contradição (versão alternativa e intuitiva): suponha que exista uma função real
que satisfaça a equação em algum ponto
. Então, avaliando em
,
Como cada um dos dois primeiros termos é não negativo, para a soma ser zero seria necessário que
As duas primeiras condições implicam
e
, mas a terceira condição
é impossível nos reais. Contradição. Logo não existe tal
nem tal função
.
Passo 6
Conclusão clara e didática: como o lado esquerdo é sempre maior ou igual a
para quaisquer valores reais de
e
, ele nunca pode ser igual a
. Portanto não existe função real
que satisfaça a equação dada.
Resposta
A equação não possui solução real; não existe função
diferenciável que satisfaça
.