1. Mostre que a equação
\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}+y^{2}+4=0
Não tem solução considerando apenas o conjunto dos números reais.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}+y^{2}+4=0
e pede para mostrar que ela não tem solução quando se considera apenas números reais. Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • Procura-se uma função y(x) com valor real para cada x (ou seja, y(x)\in\mathbb{R}) e derivada real \dfrac{d y}{d x}(x)\in\mathbb{R}.
  • A equação deve ser satisfeita ponto a ponto, ou seja, para todo x do domínio em que a função e sua derivada estejam definidas.

Passo 2

Lembrete fundamental (propriedade de números reais) que vamos usar: para qualquer número real t vale
t^{2}\ge 0,
com igualdade somente quando t=0. Explicando devagar: ao elevar qualquer número real ao quadrado obtemos um número não negativo; por exemplo, 2^{2}=4 e (-3)^{2}=9. Essa é uma propriedade básica dos números reais.

Passo 3

Aplique essa propriedade às quantidades presentes na equação. Como \dfrac{d y}{d x}(x) é real para cada x, tem-se
\left(\frac{d y}{d x}(x)\right)^{2}\ge 0.
Analogamente, como y(x) é real,
y(x)^{2}\ge 0.
Somando essas desigualdades e lembrando do termo constante 4 (que é positivo), obtemos, para todo x,
\left(\frac{d y}{d x}(x)\right)^{2}+y(x)^{2}+4 \ge 0+0+4 = 4.

Passo 4

Da desigualdade do passo anterior segue que, para todo x,
\left(\frac{d y}{d x}(x)\right)^{2}+y(x)^{2}+4 \ge 4.
Portanto o lado esquerdo da equação nunca pode ser igual a \,0, pois é sempre maior ou igual a \,4. Em particular, não existe x tal que
\left(\frac{d y}{d x}(x)\right)^{2}+y(x)^{2}+4=0.

Passo 5

Argumento por contradição (versão alternativa e intuitiva): suponha que exista uma função real y(x) que satisfaça a equação em algum ponto x_{0}. Então, avaliando em x_{0},
\left(\frac{d y}{d x}(x_{0})\right)^{2}+y(x_{0})^{2}+4=0.
Como cada um dos dois primeiros termos é não negativo, para a soma ser zero seria necessário que
\left(\frac{d y}{d x}(x_{0})\right)^{2}=0,\qquad y(x_{0})^{2}=0,\qquad\text{e}\qquad 4=0.
As duas primeiras condições implicam \dfrac{d y}{d x}(x_{0})=0 e y(x_{0})=0, mas a terceira condição \,4=0 é impossível nos reais. Contradição. Logo não existe tal x_{0} nem tal função y(x).

Passo 6

Conclusão clara e didática: como o lado esquerdo é sempre maior ou igual a \,4 para quaisquer valores reais de y e y', ele nunca pode ser igual a \,0. Portanto não existe função real y(x) que satisfaça a equação dada.

Resposta

A equação não possui solução real; não existe função y:\mathbb{R}\to\mathbb{R} diferenciável que satisfaça \left(\dfrac{d y}{d x}\right)^{2}+y^{2}+4=0.

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