Mostre que se z_{1}, z_{2}, z_{3} \in \mathbb{C} e \left|z_{2}\right|>\left|z_{3}\right| então
\left|\frac{z_{1}}{z_{2}+z_{3}}\right| \leq \frac{\left|z_{1}\right|}{\left|z_{2}\right|-\left|z_{3}\right|} \quad \text { e } \quad\left|\frac{z_{1}}{z_{2}-z_{3}}\right| \leq \frac{\left|z_{1}\right|}{\left|z_{2}\right|-\left|z_{3}\right|}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar duas desigualdades envolvendo quocientes de números complexos \displaystyle \frac{z_{1}}{z_{2}+z_{3}} e \displaystyle \frac{z_{1}}{z_{2}-z_{3}}, assumindo que \left|z_{2}\right|>\left|z_{3}\right|.
O conteúdo principal que vamos usar é a desigualdade triangular e sua forma “reversa” para módulos de soma e de diferença.

Passo 2

Lembrando a desigualdade triangular, para quaisquer a,b\in\mathbb{C} vale
\bigl|a+b\bigr|\le |a|+|b|.
Subtraindo |b| de ambos os lados obtemos
\bigl|a+b\bigr| - |b|\le |a|,
ou seja
\bigl|a+b\bigr|\ge |a| - |b|.
De modo análogo, substituindo b por -b chegamos a
\bigl|a-b\bigr|\ge |a|-|b|.

Passo 3

Aplicando as fórmulas do passo anterior a a=z_{2} e b=z_{3}, obtemos
\bigl|z_{2}+z_{3}\bigr|\ge |z_{2}| - |z_{3}|\quad\text{e}\quad \bigl|z_{2}-z_{3}\bigr|\ge |z_{2}| - |z_{3}|.
Como |z_{2}|>|z_{3}|, o termo |z_{2}| - |z_{3}| é positivo, garantindo que z_{2}\pm z_{3}\neq 0 e permitindo a divisão.

Passo 4

Agora calculamos o módulo do quociente e usamos a estimativa anterior:
\left|\frac{z_{1}}{z_{2}+z_{3}}\right| =\frac{|z_{1}|}{\bigl|z_{2}+z_{3}\bigr|} \le \frac{|z_{1}|}{\,|z_{2}| - |z_{3}|\,}.

Passo 5

De forma análoga para a diferença,
\left|\frac{z_{1}}{z_{2}-z_{3}}\right| =\frac{|z_{1}|}{\bigl|z_{2}-z_{3}\bigr|} \le \frac{|z_{1}|}{\,|z_{2}| - |z_{3}|\,}.

Resposta

\left|\frac{z_{1}}{z_{2}+z_{3}}\right|\le \frac{|z_{1}|}{|z_{2}|-|z_{3}|} \quad\text{e}\quad \left|\frac{z_{1}}{z_{2}-z_{3}}\right|\le \frac{|z_{1}|}{|z_{2}|-|z_{3}|}.

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