O enunciado pede para mostrar duas desigualdades envolvendo quocientes de números complexos \displaystyle \frac{z_{1}}{z_{2}+z_{3}} e \displaystyle \frac{z_{1}}{z_{2}-z_{3}}, assumindo que \left|z_{2}\right|>\left|z_{3}\right|.
O conteúdo principal que vamos usar é a desigualdade triangular e sua forma “reversa” para módulos de soma e de diferença.
Passo 2
Lembrando a desigualdade triangular, para quaisquer a,b\in\mathbb{C} vale
\bigl|a+b\bigr|\le |a|+|b|.
Subtraindo |b| de ambos os lados obtemos
\bigl|a+b\bigr| - |b|\le |a|,
ou seja
\bigl|a+b\bigr|\ge |a| - |b|.
De modo análogo, substituindo b por -b chegamos a
\bigl|a-b\bigr|\ge |a|-|b|.
Passo 3
Aplicando as fórmulas do passo anterior a a=z_{2} e b=z_{3}, obtemos