Decomponha o polinômio P(z)=z^{4}+4 como:
a) um produto de polinômios do primeiro grau;
b) um produto de polinômios do segundo grau com coeficientes reais.

Passo 1

O enunciado pede para fatorar o polinômio
P(z)=z^{4}+4
a) em fatores lineares sobre \mathbb{C}, isto é, como produto de quatro polinômios do primeiro grau;
b) em fatores quadráticos com coeficientes reais, agrupando pares de raízes conjugadas. Para isso, vamos primeiro encontrar as raízes de P(z).

Passo 2

Resolvemos
z^{4}+4=0 \quad\Longleftrightarrow\quad z^{4}=-4.
Escrevendo -4 em forma polar temos
-4 = 4e^{i\pi},
logo as raízes são
z_k = \sqrt[4]{4}\,e^{i(\pi+2\pi k)/4} = \sqrt{2}\,e^{i(\pi/4 + k\pi/2)}, \quad k=0,1,2,3.
Para k=0,1,2,3 obtemos explicitamente
z_0 = 1+i,\quad z_1 = -1 + i,\quad z_2 = -1 - i,\quad z_3 = 1 - i.

Passo 3

Como todo polinômio de grau 4 com raízes z_0,z_1,z_2,z_3 se escreve
P(z)=\prod_{k=0}^{3}\bigl(z - z_k\bigr),
temos a fatoração completa em polinômios do primeiro grau sobre \mathbb{C}:
P(z) =(z - (1+i))\,(z - (-1+i))\,(z - (-1-i))\,(z - (1-i)).

Passo 4

Para obter fatoração em quadráticos com coeficientes reais, agrupamos raízes conjugadas:
(z - (1+i))(z - (1-i)) = z^2 -2z +2,
(z - (-1+i))(z - (-1-i)) = z^2 +2z +2.
Dessa forma
P(z) = (z^2 - 2z + 2)\,(z^2 + 2z + 2),
que é o produto de dois polinômios de segundo grau com coeficientes reais.

Resposta

(a) P(z) = (z - (1+i))\,(z - (-1+i))\,(z - (-1-i))\,(z - (1-i)).
(b) P(z) = (z^2 - 2z + 2)\,(z^2 + 2z + 2).

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