Prove que as seguintes igualdades são válidas para todos z, w \in \mathbb{C} :
\operatorname{Im}(z) \leq|z|.

Passo 1

Vamos provar que para todo z\in\mathbb{C} vale
\Im(z)\le |z|.
Usaremos a forma cartesiana de z e as definições de parte imaginária e de módulo.

Passo 2

Escreva z = x + \mathrm{i}y com x,y\in\mathbb{R}. Então
\Im(z)=y \quad\text{e}\quad |z|=\sqrt{x^2+y^2}.
Como x^2\ge0, temos
x^2+y^2\ge y^2 \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{x^2+y^2}\ge\sqrt{y^2}=\bigl|y\bigr|.
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|z|\ge |y|.

Passo 3

Para qualquer real y vale \lvert y\rvert\ge y. Combinando isso com |z|\ge|y|, obtemos
|z|\ge|y|\ge y \quad\Longrightarrow\quad \Im(z)=y\le|z|.
Isso conclui a prova.

Resposta

Para todo z\in\mathbb{C} vale \Im(z)\le|z|.

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