Mostre que (Z,+)=lang<=-1rang<=.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que o grupo dos inteiros com a adição, denotado por (Z,+), é gerado pelo elemento -1, ou seja, lang<= -1 rang<=. Isso faz parte da matéria de Álgebra, especificamente de Teoria dos Grupos. Para resolver, vamos precisar entender o que significa um grupo ser gerado por um elemento e como aplicar isso aos inteiros.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um grupo gerado por um elemento. Em termos simples, quando dizemos que um grupo G é gerado por um elemento a, representamos isso como G = lang<= a rang<=. Isso significa que todo elemento de G pode ser obtido através de combinações (no caso da adição, somas e subtrações) de múltiplos de a. No nosso caso, queremos mostrar que todos os inteiros podem ser gerados a partir de -1.

Passo 3

Vamos ver o que a gente consegue gerar com -1. Se começarmos a adicionar -1 a si mesmo, temos:
-1 + (-1) = -2 -2 + (-1) = -3 e assim por diante
Mas e os números positivos? Como chegamos a eles usando -1?

Passo 4

Uma coisa importante na Teoria dos Grupos é que, se um elemento gera um grupo em relação à operação, podemos também usar o inverso desse elemento para gerar os elementos “na direção oposta”. No caso da adição, o inverso de -1 é 1, porque:
-1 + 1 = 0
Então, se podemos gerar 1 a partir de -1, podemos também gerar todos os inteiros positivos.

Passo 5

Vamos formalizar isso. Para qualquer inteiro n, positivo ou negativo, podemos expressá-lo como uma soma de -1 ou de 1:
  • Se n for positivo, n = 1 + 1 + dots + 1 ( n vezes).
  • Se n for negativo, n = (-1) + (-1) + dots + (-1) ( |n| vezes).
  • E claro, 0 é o elemento neutro, que já está no grupo.

Passo 6

Isso mostra que qualquer inteiro pode ser alcançado usando apenas somas e subtrações de -1. Portanto, todos os elementos de (Z,+) estão na geração de -1, ou seja, (Z,+) = lang<= -1 rang<=.

Resposta

Concluímos que o grupo dos inteiros com adição, (Z,+), é de fato gerado por -1, ou seja, (Z,+) = lang<= -1 rang<=.

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