Seja S o subespaço de P2(R) consistindo de todos os polinômios da forma a x^2+b x+2 a+3 b. Encontre uma base para S.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma base para o subespaço de , que é o conjunto de todos os polinômios da forma . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre espaços vetoriais e bases. Vamos precisar entender como expressar os polinômios em termos de vetores e verificar se esses vetores são linearmente independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o polinômio a x^2 + b x + 2a + 3b = a(x^2 + 2) + b(x + 3) de uma forma que destaque os coeficientes de e . Podemos fazer isso agrupando termos semelhantes:
Aqui, vemos que cada polinômio em pode ser escrito como uma combinação linear dos polinômios e .

Passo 3

Agora, vamos entender que S = a(x^2 + 2) + b(x + 3) ,|, a, b in R é gerado pelas combinações lineares desses dois polinômios:
Isso significa que qualquer elemento de pode ser obtido somando múltiplos escalares de e .

Passo 4

Para termos certeza de que c1(x^2 + 2) + c2(x + 3) = 0 implies c1 = 0 e c2 = 0 é uma base, precisamos verificar se esses polinômios são linearmente independentes. Isso significa que a única combinação linear que resulta no zero é quando todos os coeficientes são zero:
Não existe nenhum ou diferente de zero que satisfaça essa equação, então os polinômios são linearmente independentes.

Resposta

Uma base para é .

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