Motivação geométrica e reta tangente:
Determine o valor de k para que a reta y=9 x+k seja tangente à parábola y=x^{2}-3 x+4.

Passo 1

O enunciado dá duas curvas e pede uma condição sobre k:
  • A reta y=9 x+k.
  • A parábola y=x^{2}-3 x+4.
    Pergunta: determinar o valor de k para que a reta seja tangente à parábola.
    Informações úteis dadas: a reta tem coeficiente angular (inclinação) 9 e termo independente k; a parábola tem equação y=x^{2}-3x+4.

Passo 2

O que significa “reta tangente à parábola” (explicação didática): tangência quer dizer que a reta e a parábola têm exatamente um ponto em comum — isto é, ao juntar as duas equações, obtemos uma equação em x que tem uma única solução (uma raiz com multiplicidade 2). Quando igualamos as expressões de y das duas curvas, obtemos uma equação quadrática na variável x:
a x^{2}+b x+c=0.
Para uma equação quadrática a x^{2}+b x+c=0 (com a\neq0), define-se o discriminante
\Delta = b^{2}-4ac.
Significado do discriminante:
  • Se \Delta>0, a quadrática tem duas raízes reais distintas (duas interseções).
  • Se \Delta=0, a quadrática tem uma raiz real dupla (uma única interseção → tangência).
  • Se \Delta<0, não há interseções reais.
    Portanto, para conseguir tangência temos que impor \Delta=0. Aqui a,b,c são os coeficientes da quadrática resultante (vou identificar esses coeficientes depois de formar a equação).

Passo 3

Formar a equação que representa os pontos de interseção: igualar as duas expressões de y.
x^{2}-3x+4 = 9x+k.
Passo a passo para transformar em forma padrão a x^{2}+b x+c=0: subtrair 9x+k dos dois lados,
x^{2}-3x+4-9x-k = 0.
Reorganizando os termos semelhantes,
x^{2}-12x+(4-k)=0.
Aqui identificamos os coeficientes da quadrática:
a = 1,\qquad b = -12,\qquad c = 4-k.

Passo 4

Aplicar a condição de tangência \Delta=0. Calcular \Delta em função de k:
\Delta = b^{2}-4ac = (-12)^{2}-4\cdot 1\cdot(4-k).
Fazendo as contas com calma:
(-12)^{2}=144,
4\cdot 1\cdot(4-k)=16-4k.
Logo
\Delta = 144-(16-4k)=144-16+4k=128+4k.
Impor \Delta=0 e resolver para k:
128+4k=0.
Dividindo por 4,
32+k=0.
Portanto
k=-32.

Passo 5

Verificações e interpretação (aula extra curta para fixar):
  • Substituindo k=-32 na quadrática obtemos
x^{2}-12x+(4-(-32))=x^{2}-12x+36=0,
que é
(x-6)^{2}=0,
ou seja, raiz dupla x=6 — confirma que há exatamente um ponto de interseção.
  • Coordenada y desse ponto a partir da reta:
y=9\cdot 6 + k = 54-32 = 22.
  • Checagem com a parábola:
x^{2}-3x+4 = 6^{2}-3\cdot 6 +4 = 36-18+4=22,
coincide, ótimo.
  • Checagem pela derivada (intuição geométrica): a derivada da parábola é y'=2x-3. Em x=6 tem-se y'=2\cdot 6-3=9, que é exatamente o coeficiente angular da reta; portanto a reta e a parábola têm a mesma inclinação no ponto de contato — outra confirmação da tangência.

Resposta

k=-32

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