Motivação geométrica e reta tangente:
Determine o valor de
para que a reta
seja tangente à parábola
.
Determine o valor de
Passo 1
O enunciado dá duas curvas e pede uma condição sobre
:
- A reta
. - A parábola
.
Pergunta: determinar o valor depara que a reta seja tangente à parábola.
Informações úteis dadas: a reta tem coeficiente angular (inclinação)e termo independente ; a parábola tem equação .
Passo 2
O que significa “reta tangente à parábola” (explicação didática): tangência quer dizer que a reta e a parábola têm exatamente um ponto em comum — isto é, ao juntar as duas equações, obtemos uma equação em
que tem uma única solução (uma raiz com multiplicidade 2). Quando igualamos as expressões de
das duas curvas, obtemos uma equação quadrática na variável
:
Para uma equação quadrática
(com
), define-se o discriminante
Significado do discriminante:
- Se
, a quadrática tem duas raízes reais distintas (duas interseções). - Se
, a quadrática tem uma raiz real dupla (uma única interseção → tangência). - Se
, não há interseções reais.
Portanto, para conseguir tangência temos que impor. Aqui são os coeficientes da quadrática resultante (vou identificar esses coeficientes depois de formar a equação).
Passo 3
Formar a equação que representa os pontos de interseção: igualar as duas expressões de
.
Passo a passo para transformar em forma padrão
: subtrair
dos dois lados,
Reorganizando os termos semelhantes,
Aqui identificamos os coeficientes da quadrática:
Passo 4
Aplicar a condição de tangência
. Calcular
em função de
:
Fazendo as contas com calma:
Logo
Impor
e resolver para
:
Dividindo por
,
Portanto
Passo 5
Verificações e interpretação (aula extra curta para fixar):
- Substituindo
na quadrática obtemos
que é
ou seja, raiz dupla
— confirma que há exatamente um ponto de interseção.
- Coordenada
desse ponto a partir da reta:
- Checagem com a parábola:
coincide, ótimo.
- Checagem pela derivada (intuição geométrica): a derivada da parábola é
. Em tem-se , que é exatamente o coeficiente angular da reta; portanto a reta e a parábola têm a mesma inclinação no ponto de contato — outra confirmação da tangência.