Regras de derivação:
Calcule a derivada das seguintes funções, usando as regras operacionais:

Passo 1

O enunciado pede: “Calcule a derivada das seguintes funções, usando as regras operacionais.”
Informações fornecidas no enunciado: nenhuma — o enunciado não traz nenhuma função explícita para diferenciar.
Pergunta(s) que preciso responder: calcular as derivadas das funções que supostamente foram listadas. Essas funções, porém, não foram enviadas.

Passo 2

Conclusão imediata: não é possível calcular derivadas específicas porque as expressões das funções não foram fornecidas. Para calcular uma derivada eu preciso da expressão matemática explícita de cada função (por exemplo \;f(x)=x^3-2x\; ou \;g(t)=\sin(t^2)\;). Sem isso não há como dar valores ou fórmulas finais.

Passo 3

Mesmo assim — e porque sei que você quer aprender na prática — vou revisar as regras operacionais de derivação passo a passo, com explicações e exemplos resolvidos completamente. Essas regras são as ferramentas que você vai usar na prova para qualquer função que o professor pedir.
Regra 1 — Regra da constante
Se f(x)=c onde c é constante, então
f'(x)=0.
Explicação: a função não muda com x, então a taxa de variação é zero.
Exemplo: para f(x)=5 tem-se f'(x)=0.
Regra 2 — Regra do poder (power rule)
Se f(x)=x^{n} com n real, então
f'(x)=n x^{n-1}.
Explicação: multiplica-se por n e diminui-se o expoente em uma unidade.
Exemplo passo a passo: para f(x)=x^{4},
f'(x)=4x^{3}.

Passo 4

Regra 3 — Constante multiplicativa
Se f(x)=c\cdot g(x) com constante c, então
f'(x)=c\cdot g'(x).
Explicação: a constante sai da derivada.
Exemplo: f(x)=3x^{4}. Usando as regras anteriores,
f'(x)=3\cdot(4x^{3})=12x^{3}.
Regra 4 — Soma e diferença
Se f(x)=g(x)+h(x) então
f'(x)=g'(x)+h'(x).
Exemplo: f(x)=x^{3}-2x+7. Derivando termo a termo,
f'(x)=3x^{2}-2+0=3x^{2}-2.

Passo 5

Regra 5 — Regra do produto
Se f(x)=u(x)\cdot v(x), então
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Explicação: a derivada do produto é “deriva o primeiro vezes o segundo, mais o primeiro vezes deriva o segundo”.
Exemplo detalhado: seja f(x)=(x^{2}+1)(x^{3}-x). Tomar u(x)=x^{2}+1 e v(x)=x^{3}-x.
Calcule:
u'(x)=2x,\qquad v'(x)=3x^{2}-1.
Aplicando a regra do produto:
f'(x)=2x\cdot(x^{3}-x)+(x^{2}+1)\cdot(3x^{2}-1).
Agora distribua e some termos:
f'(x)=2x^{4}-2x^{2}+3x^{4}-x^{2}+3x^{2}-1 = (2x^{4}+3x^{4})+(-2x^{2}-x^{2}+3x^{2})-1
f'(x)=5x^{4}+0\cdot x^{2}-1=5x^{4}-1.
(Dica: verifique as somas de coeficientes com calma.)

Passo 6

Regra 6 — Regra do quociente
Se f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)} com v(x)\neq0, então
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{\big(v(x)\big)^{2}}.
Exemplo mostrando simplificação alternativa: f(x)=\dfrac{2x^{3}-x}{x^{2}}. Antes de aplicar a regra do quociente, simplifique dividindo:
f(x)=\dfrac{2x^{3}}{x^{2}}-\dfrac{x}{x^{2}}=2x-\dfrac{1}{x}.
Agora derive termo a termo:
f'(x)=2-\left(-\dfrac{1}{x^{2}}\right)=2+\dfrac{1}{x^{2}}.
Observação: simplificar quando possível evita cálculo extra com o quociente.

Passo 7

Regra 7 — Regra da cadeia (chain rule)
Se f(x)=F(g(x)), ou seja uma função composta, então
f'(x)=F'(g(x))\cdot g'(x).
Explicação: deriva-se a função externa mantendo a interna, e multiplica-se pela derivada da função interna. Pense em “derivar por fora, multiplicar pela derivada de dentro”.
Exemplo 1 (potência composta): f(x)=(3x+1)^{5}. Tome F(u)=u^{5} com u=g(x)=3x+1. Então F'(u)=5u^{4} e g'(x)=3. Assim
f'(x)=5(3x+1)^{4}\cdot 3 = 15(3x+1)^{4}.
Exemplo 2 (função trigonométrica composta): f(x)=\sin(x^{2}). Aqui F(u)=\sin u, F'(u)=\cos u, g(x)=x^{2}, g'(x)=2x. Logo
f'(x)=\cos(x^{2})\cdot 2x = 2x\cos(x^{2}).

Passo 8

Derivadas de funções elementares úteis (para decorar e usar):
  • Exponencial:
\frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}.
Se composto, \dfrac{d}{dx}e^{g(x)}=e^{g(x)}\cdot g'(x).
  • Logaritmo natural:
\frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x}\quad(x>0).
Se composto, \dfrac{d}{dx}\ln(g(x))=\dfrac{g'(x)}{g(x)}.
Exemplo: f(x)=\ln(x^{2}+1). Pelo chain rule,
f'(x)=\frac{1}{x^{2}+1}\cdot(2x)=\frac{2x}{x^{2}+1}.
  • Trigonometria:
\frac{d}{dx}\sin x=\cos x,\qquad \frac{d}{dx}\cos x=-\sin x,\qquad \frac{d}{dx}\tan x=\operatorname{sec}^{2}x.
Derivação de \tan x via quociente: \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x} e aplicando a regra do quociente leva a \operatorname{sec}^{2}x.

Passo 9

Estratégia prática para a prova (passo a passo que use sempre):
  1. Leia a função cuidadosamente e identifique operações: soma, produto, quociente, composição.
  2. Simplifique algebricamente se possível (por exemplo dividir polinômios, eliminar fatores comuns).
  3. Aplique as regras em ordem: soma/constante/potência, depois produto/quociente, e finalmente cadeia para compostos.
  4. Faça substituições intermediárias (p. ex. defina u=g(x)) se a cadeia for longa; calcule u' e F'(u) separadamente e depois multiplique.
  5. Reveja álgebra final (coeficientes, expoentes) para evitar erros de sinais ou somas.

Passo 10

Exemplo final completo e simples (reunindo regras): derivar f(x)=\dfrac{(x^{2}+1)\sin x}{x}.
  1. Identifique: é um quociente com numerador u(x)=(x^{2}+1)\sin x e denominador v(x)=x.
  2. Calcule u'(x) usando produto: u(x)=a(x)\cdot b(x) com a(x)=x^{2}+1, a'(x)=2x; b(x)=\sin x, b'(x)=\cos x. Então
u'(x)=2x\sin x+(x^{2}+1)\cos x.
  1. Calcule v'(x)=1.
  2. Aplique quociente:
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{v(x)^{2}} =\frac{\big(2x\sin x+(x^{2}+1)\cos x\big)\cdot x-(x^{2}+1)\sin x\cdot 1}{x^{2}}.
  1. Desenvolva o numerador e simplifique se necessário; o passo principal é ver como combinar produto/quociente/derivadas dos básicos.

Resposta

Não é possível calcular as derivadas pedidas porque as funções não foram fornecidas.

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