Regras de derivação:
Calcule a derivada das seguintes funções, usando as regras operacionais:
Calcule a derivada das seguintes funções, usando as regras operacionais:
Passo 1
O enunciado pede: “Calcule a derivada das seguintes funções, usando as regras operacionais.”
Informações fornecidas no enunciado: nenhuma — o enunciado não traz nenhuma função explícita para diferenciar.
Pergunta(s) que preciso responder: calcular as derivadas das funções que supostamente foram listadas. Essas funções, porém, não foram enviadas.
Informações fornecidas no enunciado: nenhuma — o enunciado não traz nenhuma função explícita para diferenciar.
Pergunta(s) que preciso responder: calcular as derivadas das funções que supostamente foram listadas. Essas funções, porém, não foram enviadas.
Passo 2
Conclusão imediata: não é possível calcular derivadas específicas porque as expressões das funções não foram fornecidas. Para calcular uma derivada eu preciso da expressão matemática explícita de cada função (por exemplo
ou
). Sem isso não há como dar valores ou fórmulas finais.
Passo 3
Mesmo assim — e porque sei que você quer aprender na prática — vou revisar as regras operacionais de derivação passo a passo, com explicações e exemplos resolvidos completamente. Essas regras são as ferramentas que você vai usar na prova para qualquer função que o professor pedir.
Regra 1 — Regra da constante
Se onde
é constante, então
Se
Explicação: a função não muda com
, então a taxa de variação é zero.
Exemplo: para tem-se
.
Exemplo: para
Regra 2 — Regra do poder (power rule)
Se com
real, então
Se
Explicação: multiplica-se por
e diminui-se o expoente em uma unidade.
Exemplo passo a passo: para ,
Exemplo passo a passo: para
Passo 4
Regra 3 — Constante multiplicativa
Se com constante
, então
Se
Explicação: a constante sai da derivada.
Exemplo: . Usando as regras anteriores,
Exemplo:
Regra 4 — Soma e diferença
Se então
Se
Exemplo:
. Derivando termo a termo,
Passo 5
Regra 5 — Regra do produto
Se , então
Se
Explicação: a derivada do produto é “deriva o primeiro vezes o segundo, mais o primeiro vezes deriva o segundo”.
Exemplo detalhado: seja . Tomar
e
.
Calcule:
Exemplo detalhado: seja
Calcule:
Aplicando a regra do produto:
Agora distribua e some termos:
(Dica: verifique as somas de coeficientes com calma.)
Passo 6
Regra 6 — Regra do quociente
Se com
, então
Se
Exemplo mostrando simplificação alternativa:
. Antes de aplicar a regra do quociente, simplifique dividindo:
Agora derive termo a termo:
Observação: simplificar quando possível evita cálculo extra com o quociente.
Passo 7
Regra 7 — Regra da cadeia (chain rule)
Se , ou seja uma função composta, então
Se
Explicação: deriva-se a função externa mantendo a interna, e multiplica-se pela derivada da função interna. Pense em “derivar por fora, multiplicar pela derivada de dentro”.
Exemplo 1 (potência composta):
. Tome
com
. Então
e
. Assim
Exemplo 2 (função trigonométrica composta):
. Aqui
,
,
,
. Logo
Passo 8
Derivadas de funções elementares úteis (para decorar e usar):
- Exponencial:
Se composto,
.
- Logaritmo natural:
Se composto,
.
Exemplo:
. Pelo chain rule,
- Trigonometria:
Derivação de
via quociente:
e aplicando a regra do quociente leva a
.
Passo 9
Estratégia prática para a prova (passo a passo que use sempre):
- Leia a função cuidadosamente e identifique operações: soma, produto, quociente, composição.
- Simplifique algebricamente se possível (por exemplo dividir polinômios, eliminar fatores comuns).
- Aplique as regras em ordem: soma/constante/potência, depois produto/quociente, e finalmente cadeia para compostos.
- Faça substituições intermediárias (p. ex. defina
) se a cadeia for longa; calcule e separadamente e depois multiplique. - Reveja álgebra final (coeficientes, expoentes) para evitar erros de sinais ou somas.
Passo 10
Exemplo final completo e simples (reunindo regras): derivar
.
- Identifique: é um quociente com numerador
e denominador . - Calcule
usando produto: com , ; , . Então
- Calcule
. - Aplique quociente:
- Desenvolva o numerador e simplifique se necessário; o passo principal é ver como combinar produto/quociente/derivadas dos básicos.
Resposta
Não é possível calcular as derivadas pedidas porque as funções não foram fornecidas.