Motivação geométrica e reta tangente:
Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto onde
.
Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função
no ponto onde
.
Informações dadas:
- A função é
. - O ponto onde queremos a tangente tem abscissa
. - O objetivo é achar a equação da reta tangente (ou seja, a reta que toca o gráfico nesse ponto e tem a mesma inclinação do gráfico nesse ponto).
Observação útil sobre domínio:
é a raiz sexta real, portanto a função está definida para
. O ponto
está dentro do domínio.
Passo 2
Conceito-chave (explicando devagar): a reta tangente a uma curva no ponto de abscissa
tem inclinação igual à derivada da função naquele ponto. A fórmula geral da reta tangente em
é
Aqui:
-
é a ordenada do ponto de tangência. -
é a derivada de em , ou seja, a inclinação da curva no ponto.
Portanto precisamos de duas coisas: o ponto(aqui ) e o valor de .
Breve explicação do que é derivada (sem jargões):
mede a taxa de variação instantânea de
em
— pensa como a velocidade num instante. Podemos obter
por regras (quando conhecidas) ou pela definição limite. Aqui vamos obter
de uma maneira simples e que dá conta de potências fracionárias.
Passo 3
Escolha do método: para funções do tipo
(inclusive com
fracionário), uma maneira direta e muito didática é usar diferenciação implícita. Vou mostrar isso porque evita manipular limites complicados e só usa derivação de potências inteiras e a regra da cadeia (que é natural): se
depende de
, a derivada de
é
. Isso é suficiente e fácil de aplicar aqui.
Passo 4
Aplicando diferenciação implícita:
Defina . Então
Defina
Derivando ambos os lados em relação a
: a derivada de
(lembrando que
depende de
) é
, e a derivada de
é
. Assim
Isolando
(que é
escrito em função de
):
Agora volte a escrever em função de
. Como
, tem-se
. Logo
Comentário: essa expressão vale para
(derivada bem definida); em
a derivada não existe da mesma forma porque a potência negativa explode.
Passo 5
Avaliar a derivada no ponto
:
Calcule e
.
Calcule
Portanto o ponto de tangência é
e a inclinação (coeficiente angular) da reta tangente é
.
Passo 6
Montar a equação da reta tangente usando a fórmula ponto-declive:
Substituindo
e
:
Podemos simplificar para a forma reduzida (escalonar para
):
Passo 7
Interpretação rápida e motivação: a reta tem coeficiente angular pequeno e positivo (
), ou seja, o gráfico de
está subindo suavemente em torno de
. A forma
é prática para avaliar aproximacões lineares perto de
.