Motivação geométrica e reta tangente:
Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de f(x)=\sqrt[6]{x} no ponto onde x=1.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x)=\sqrt[6]{x} no ponto onde x=1.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=\sqrt[6]{x}.
  • O ponto onde queremos a tangente tem abscissa x=1.
  • O objetivo é achar a equação da reta tangente (ou seja, a reta que toca o gráfico nesse ponto e tem a mesma inclinação do gráfico nesse ponto).
Observação útil sobre domínio: \sqrt[6]{x} é a raiz sexta real, portanto a função está definida para x\ge 0. O ponto x=1 está dentro do domínio.

Passo 2

Conceito-chave (explicando devagar): a reta tangente a uma curva no ponto de abscissa a tem inclinação igual à derivada da função naquele ponto. A fórmula geral da reta tangente em x=a é
y - f(a) = f'(a)\,(x-a).
Aqui:
  • f(a) é a ordenada do ponto de tangência.
  • f'(a) é a derivada de f em a, ou seja, a inclinação da curva no ponto.
    Portanto precisamos de duas coisas: o ponto \bigl(a,f(a)\bigr) (aqui a=1) e o valor de f'(1).
Breve explicação do que é derivada (sem jargões): f'(a) mede a taxa de variação instantânea de f em a — pensa como a velocidade num instante. Podemos obter f'(a) por regras (quando conhecidas) ou pela definição limite. Aqui vamos obter f'(x) de uma maneira simples e que dá conta de potências fracionárias.

Passo 3

Escolha do método: para funções do tipo x^{m} (inclusive com m fracionário), uma maneira direta e muito didática é usar diferenciação implícita. Vou mostrar isso porque evita manipular limites complicados e só usa derivação de potências inteiras e a regra da cadeia (que é natural): se y depende de x, a derivada de y^6 é 6y^5 y'. Isso é suficiente e fácil de aplicar aqui.

Passo 4

Aplicando diferenciação implícita:
Defina y = \sqrt[6]{x} = x^{1/6}. Então
y^{6} = x.
Derivando ambos os lados em relação a x: a derivada de y^{6} (lembrando que y depende de x) é 6y^{5}\,y', e a derivada de x é 1. Assim
6y^{5}\,y' = 1.
Isolando y' (que é f'(x) escrito em função de y):
y' = \frac{1}{6y^{5}}.
Agora volte a escrever em função de x. Como y = x^{1/6}, tem-se y^{5} = x^{5/6}. Logo
f'(x)=y'=\frac{1}{6x^{5/6}}=\frac{1}{6}x^{-5/6}.
Comentário: essa expressão vale para x>0 (derivada bem definida); em x=0 a derivada não existe da mesma forma porque a potência negativa explode.

Passo 5

Avaliar a derivada no ponto x=1:
Calcule f(1) e f'(1).
f(1)=\sqrt[6]{1}=1.
f'(1)=\frac{1}{6}\cdot 1^{-5/6}=\frac{1}{6}.
Portanto o ponto de tangência é (1,1) e a inclinação (coeficiente angular) da reta tangente é m=\dfrac{1}{6}.

Passo 6

Montar a equação da reta tangente usando a fórmula ponto-declive:
y - f(1) = f'(1)\,(x-1).
Substituindo f(1)=1 e f'(1)=\dfrac{1}{6}:
y - 1 = \frac{1}{6}(x-1).
Podemos simplificar para a forma reduzida (escalonar para y):
y = 1 + \frac{1}{6}(x-1) = \frac{1}{6}x + \frac{5}{6}.

Passo 7

Interpretação rápida e motivação: a reta tem coeficiente angular pequeno e positivo ( \tfrac{1}{6}), ou seja, o gráfico de \sqrt[6]{x} está subindo suavemente em torno de x=1. A forma \,y=\dfrac{1}{6}x+\dfrac{5}{6}\, é prática para avaliar aproximacões lineares perto de x=1.

Resposta

y=\dfrac{1}{6}x+\dfrac{5}{6}

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