Um motociclista movendo-se com uma velocidade de 0,8 \mathrm{c} passa por um observador parado na calçada.
Qual o comprimento da moto visto pelo observador, sabendo que para o motociclista ela tem 2 m ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede um valor claro:
  • Um motociclista (e a sua moto) tem comprimento próprio de 2\\ \mathrm{m} medido no referencial da moto.
  • A moto passa por um observador parado na calçada com velocidade v = 0,8\,c em relação ao observador.
  • Pergunta: qual é o comprimento da moto visto (medido) pelo observador na calçada?

Passo 2

O que significa “comprimento próprio” e “comprimento visto pelo observador”:
  • Comprimento próprio ( L_0) é o comprimento do objeto medido no referencial onde o objeto está em repouso. Aqui \,L_0 = 2\\ \mathrm{m}.
  • Comprimento medido por um observador para quem o objeto está em movimento ( L) é o comprimento entre as posições simultâneas das extremidades no referencial do observador. Em relatividade especial, quando o objeto se move, o observador mede um comprimento menor (contração de Lorentz).

Passo 3

A fórmula da contração de Lorentz e explicação das variáveis:
  • A contração é dada por
L = L_0 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}.
Aqui:
  • L é o comprimento medido pelo observador para quem o objeto se move.
  • L_0 é o comprimento próprio (no repouso do objeto).
  • v é a velocidade relativa entre objeto e observador.
  • c é a velocidade da luz.
  • Outra forma equivalente usa o fator de Lorentz \gamma,
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \quad\text{e}\quad L = \frac{L_0}{\gamma}.
Breve motivo (intuição): as duas extremidades devem ser medidas em instantes simultâneos no referencial do observador; aplicando as transformações de Lorentz entre referenciais resulta nessa relação L = L_0/\gamma.

Passo 4

Aplicando a fórmula com os valores dados:
  • Primeiro calcule \frac{v^2}{c^2}:
\frac{v^2}{c^2} = (0,8)^2 = 0,64.
  • Então
\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} = \sqrt{1 - 0,64} = \sqrt{0,36} = 0,6.

Passo 5

Agora calcule o comprimento observado:
L = L_0 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} = 2\\ \mathrm{m} \times 0,6 = 1,2\\ \mathrm{m}.
(Se preferir via \gamma: \gamma = 1/0,6 \approx 1,666 e L = 2/1,666\ldots \approx 1,2\\ \mathrm{m}. Mesmo resultado.)

Passo 6

Interpretação rápida e incentivo:
  • Resultado: a moto parece mais curta para o observador na calçada: de 2\\ \mathrm{m} no referencial da moto para 1,2\\ \mathrm{m} no referencial do observador.
  • Vai dar certo na prova — lembra: sempre identifique L_0, v e use a fórmula L = L_0\sqrt{1 - v^2/c^2}. Respira fundo e confia que você consegue aplicar isso passo a passo.

Resposta

1,2\\ \mathrm{m}

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