Um motociclista movendo-se com uma velocidade de 0,8 \mathrm{c} passa por um observador parado na calçada.
Se o motociclista lança uma bola para a frente com uma velocidade de 0,7c relativa a ele próprio, qual será a velocidade da bola vista pelo observador parado?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa. Dados:
  • Um motociclista se move em relação ao observador parado com velocidade \;V = 0{,}8c.
  • Em relação ao motociclista (no referencial do motociclista) a bola é lançada para a frente com velocidade \;u' = 0{,}7c.
Pergunta: qual é a velocidade \;u da bola medida pelo observador parado na calçada?

Passo 2

Por que não podemos simplesmente somar as velocidades como na física newtoniana? Se somássemos diretamente teríamos \;0{,}8c + 0{,}7c = 1{,}5c, que é maior que \;c. Isso é problemático porque a teoria relativística (confirmada experimentalmente) diz que nenhum sinal ou objeto com massa pode ter velocidade maior que \;c. Portanto precisamos de uma regra de composição de velocidades que respeite esse limite — e essa regra é a fórmula relativística de adição de velocidades.

Passo 3

Apresentando a fórmula correta (explicando o que cada símbolo significa): se um referencial S' se move com velocidade \;V em relação a S e um objeto tem velocidade \;u' no referencial S' (ambas ao longo da mesma linha), então a velocidade u desse objeto medida em S é dada por
u=\frac{u'+V}{1+\dfrac{u'V}{c^{2}}}.
Aqui:
  • \;u' é a velocidade do objeto no referencial do motociclista (dado: \;u'=0{,}7c);
  • \;V é a velocidade do motociclista em relação ao observador parado (dado: \;V=0{,}8c);
  • \;c é a velocidade da luz; \;u é o que queremos calcular.
Breve justificativa (intuição): essa fórmula vem das transformações de Lorentz que relacionam as coordenadas espaço-temporais entre referenciais movendo-se um em relação ao outro. Ao calcular \;u=dx/dt e usar as transformações para escrever \;dx e \;dt em função de \;dx' e \;dt' obtemos exatamente essa razão que impede ultrapassar \;c.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula com os números do enunciado. Substituindo \;u'=0{,}7c e \;V=0{,}8c temos
u=\frac{0{,}7c+0{,}8c}{1+\dfrac{(0{,}7c)(0{,}8c)}{c^{2}}}
Primeiro simplificamos os c:
u=\frac{(0{,}7+0{,}8)c}{1+0{,}7\cdot0{,}8}=\frac{1{,}5\,c}{1+0{,}56}=\frac{1{,}5\,c}{1{,}56}.
Agora calculamos a fração. Notamos que \dfrac{1{,}5}{1{,}56}=\dfrac{150}{156}=\dfrac{25}{26}. Assim
u=\frac{25}{26}\,c \approx 0{,}961538\;c.

Passo 5

Interpretação final e checagem rápida: \;u\approx0{,}962c, que é menor que \;c (como deve ser). Compare com a soma clássica 1{,}5c: a regra relativística aproxima o resultado de \;c sem ultrapassá-lo. Resultado faz sentido físico e matemático.

Resposta

\dfrac{25}{26}\,c \approx 0{,}961538\,c

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