Determine a deformação máxima da mola com constante \mathrm{k}=400 \mathrm{~N} / \mathrm{m}. A massa do bloco é de 2 kg . Não há atrito. ( \mathrm{g}=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} ).
A) 0,2 \mathrm{~m}
B) 0,1 \mathrm{~m}
C) 1,0 \mathrm{~m}
D) 2,0 \mathrm{~m}
E) 3,0 \mathrm{~m}

Passo 1

O enunciado pede a deformação máxima da mola quando o bloco cai sem atrito até comprimir a mola. Dados fornecidos:
  • constante da mola: k=400\\ \mathrm{N/m},
  • massa do bloco: m=2\\ \mathrm{kg},
  • diferença de altura inicial até o fundo (energia potencial liberada): h=10\\ \mathrm{m} — este valor eu peguei da figura,
  • aceleração da gravidade: g=10\\ \mathrm{m/s^2},
  • não há atrito e a velocidade inicial é v_1=0.
    O que se pede: a deformação máxima x da mola (em metros).

Passo 2

Qual método usar e por quê:
  • Como não há atrito e só agem forças conservativas (peso e mola), a energia mecânica se conserva.
  • Isso significa que a energia potencial gravitacional inicial do bloco se transforma totalmente na energia potencial elástica da mola no instante de máxima compressão (a cinética é zero nesse instante).
    Vou usar a conservação de energia mecânica porque é o método direto, simples e apropriado para problemas sem dissipação de energia.

Passo 3

Escrevendo a conservação de energia:
  • Energia potencial gravitacional inicial: \text{EP}_\text{g}=m g h. Aqui m é a massa, g é a gravidade e h é a altura perdida.
  • Energia cinética inicial: \text{EC}_\text{ini}=\tfrac{1}{2}m v_1^2, mas v_1=0 então essa parcela é zero.
  • Energia potencial elástica no máximo da compressão: \text{EP}_\text{mola}=\tfrac{1}{2}k x^2, onde k é a constante da mola e x a deformação máxima que queremos.
Conservação: m g h + \tfrac{1}{2}m v_1^2 = \tfrac{1}{2}k x^2.
Como v_1=0, simplifica para m g h = \tfrac{1}{2}k x^2.

Passo 4

Isolando x na equação:
\tfrac{1}{2}k x^2 = m g h \quad\Longrightarrow\quad x^2 = \frac{2 m g h}{k}\quad\Longrightarrow\quad x = \sqrt{\frac{2 m g h}{k}}.
Explico as variáveis novamente: x é a compressão máxima (m), m massa (kg), g gravidade (m/s ^2), h altura (m), k constante da mola (N/m). A raiz quadrada aparece porque isolamos x^2.

Passo 5

Substituindo os valores numéricos passo a passo:
  • Primeiro calcule a energia disponível: m g h = 2 \cdot 10 \cdot 10 = 200 (unidades: J). Em LaTeX: m g h = 2\cdot10\cdot10 = 200\\ \mathrm{J}.
  • Usando a fórmula para x: x = \sqrt{\frac{2 m g h}{k}}.
Calcule o numerador: 2 m g h = 2\cdot 2\cdot 10\cdot 10 = 400. Em LaTeX: 2 m g h = 2\cdot2\cdot10\cdot10 = 400.
Agora divida por k: \dfrac{2 m g h}{k} = \dfrac{400}{400} = 1.
Finalmente: x = \sqrt{1} = 1\\ \mathrm{m}.
Pequena verificação de coerência: a energia gravitacional 200\\ \mathrm{J} vai para \tfrac{1}{2}k x^2. Com x=1\\ \mathrm{m} temos \tfrac{1}{2}\cdot400\cdot1^2=200\\ \mathrm{J}, bate certinho. A ordem de grandeza faz sentido: mola rígida, mas energia razoável, compressão moderada.

Resposta

\,1,0\\ \mathrm{m}

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