Questão 4
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A carga por metro de comprimento da viga varia como mostrado. Para \mathrm{x}=10 \mathrm{~m} a carga unitária vale w=300 \mathrm{~N} / \mathrm{m} . E \mathrm{~m} x=0, a carga está aumentando a uma taxa de 50 \mathrm{~N} / \mathrm{m} por metro. Calcule as reações em A e B.
◯ a. \mathrm{Ra}=667 \mathrm{~N} e \mathrm{Rb}=1167 \mathrm{~N}
◯ b. \mathrm{Ra}=1167 \mathrm{~N} e \mathrm{Rb}=667 \mathrm{~N}
◯ c. \mathrm{Ra}=50 \mathrm{~N} e \mathrm{Rb}=2 \mathrm{~N}
◯ d. \mathrm{Ra}=2 \mathrm{~N} e \mathrm{Rb}=50 \mathrm{~N}
◯ e. \mathrm{Ra}=1167 \mathrm{~N} e \mathrm{Rb}=1833 \mathrm{~N}

Passo 1

O que o problema pede:
  • Calcular as reações verticais em A e B ( R_A e R_B ) para a viga simplesmente apoiada mostrada.
Informações fornecidas pelo enunciado e pela figura:
  • A viga tem comprimento 10\\ \text{m}.
  • A carga distribuída varia segundo a lei w(x)=k_{1}x-k_{2}x^{2}.
  • Em x=10\\ \text{m} vale w(10)=300\\ \text{N/m}.
  • Em x=0 a carga está aumentando à razão de 50\\ \text{N/m} por metro; isto é, a derivada \dfrac{dw}{dx} em x=0 vale 50\\ \text{N/m}^{2}.
  • Queremos R_A e R_B obedecendo às equações de equilíbrio da viga (equilíbrio vertical e equilíbrio de momentos).

Passo 2

Encontrar os coeficientes k_{1} e k_{2}.
Explicação do que significa a derivada: \dfrac{dw}{dx} é a taxa de variação da intensidade de carga por unidade de comprimento em função de x. Se \dfrac{dw}{dx} em x=0 vale 50, então substituímos x=0 na expressão da derivada de w(x).
Calcule a derivada:
\frac{dw}{dx}=k_{1}-2k_{2}x.
Em x=0:
\left.\frac{dw}{dx}\right|_{x=0}=k_{1}=50.
Portanto \;k_{1}=50.
Agora use w(10)=300. Substituindo na função w(x):
w(10)=50\cdot 10 - k_{2}\cdot 10^{2}=300.
Isso dá:
500 - 100k_{2}=300 \quad\Rightarrow\quad 100k_{2}=200 \quad\Rightarrow\quad k_{2}=2.

Passo 3

Escrever a expressão final de w(x) com os coeficientes encontrados.
Portanto:
w(x)=50x - 2x^{2}\quad(\text{unidade: N/m, com }x\text{ em m}).

Passo 4

Calcular a resultante (força total) da carga distribuída sobre a viga.
Princípio usado: a força total causada por uma carga distribuída w(x) no intervalo [0,L] é a integral
F=\int_{0}^{L} w(x)\,dx.
Aqui L=10\\ \text{m}. Substituindo w(x):
F=\int_{0}^{10} (50x-2x^{2})\,dx.
Calcule a integral (mostrar passos para poder fazer na prova):
\int 50x\,dx = 25x^{2},\qquad \int 2x^{2}\,dx=\frac{2}{3}x^{3}.
Logo
F=\left[25x^{2}-\frac{2}{3}x^{3}\right]_{0}^{10} =25\cdot 10^{2}-\frac{2}{3}\cdot 10^{3}.
Calculeos termos:
25\cdot 100 =2500,\qquad \frac{2}{3}\cdot 1000=\frac{2000}{3}\approx666{,}666\ldots
Portanto
F=2500-\frac{2000}{3}=\frac{7500-2000}{3}=\frac{5500}{3}\\ \text{N}\approx1833{,}33\\ \text{N}.
Este é o somatório vertical das forças: R_A+R_B=F=\dfrac{5500}{3}\\ \text{N}.

Passo 5

Calcular o momento da resultante em relação ao apoio em A para obter R_B.
Princípio usado: o momento da carga distribuída em relação a A é a integral do braço x vezes a intensidade w(x):
M_{A}=\int_{0}^{L} x\,w(x)\,dx.
Esse momento deve ser equilibrado pelo momento produzido por R_B (já que o apoio em A produz reação que passa por A e não gera momento sobre A). Assim:
R_B\cdot L = M_{A}\quad\Rightarrow\quad R_B=\frac{M_{A}}{L}.
Calcule M_{A}:
M_{A}=\int_{0}^{10} x(50x-2x^{2})\,dx=\int_{0}^{10} (50x^{2}-2x^{3})\,dx.
Integre termo a termo:
\int 50x^{2}\,dx=\frac{50}{3}x^{3},\qquad \int 2x^{3}\,dx=\frac{2}{4}x^{4}=\frac{1}{2}x^{4}.
Portanto
M_{A}=\left[\frac{50}{3}x^{3}-\frac{1}{2}x^{4}\right]_{0}^{10} =\frac{50}{3}\cdot 10^{3}-\frac{1}{2}\cdot 10^{4}.
Calcule os termos:
\frac{50}{3}\cdot 1000=\frac{50000}{3},\qquad \frac{1}{2}\cdot 10000=5000.
Logo
M_{A}=\frac{50000}{3}-5000=\frac{50000-15000}{3}=\frac{35000}{3}\\ \text{N}\cdot\text{m}\approx11666{,}67\\ \text{N}\cdot\text{m}.
Agora R_B=\dfrac{M_{A}}{L}=\dfrac{35000/3}{10}=\dfrac{3500}{3}\\ \text{N}\approx1166{,}67\\ \text{N}.

Passo 6

Calcular R_A usando o equilíbrio vertical (somatório de forças).
Temos R_A+R_B=\dfrac{5500}{3}. Substituindo R_B=\dfrac{3500}{3}:
R_A=\frac{5500}{3}-\frac{3500}{3}=\frac{2000}{3}\\ \text{N}\approx666{,}67\\ \text{N}.

Passo 7

Interpretação final e checagem com as alternativas:
  • Obtiveram-se R_A=\dfrac{2000}{3}\\ \text{N}\approx666{,}67\\ \text{N} e R_B=\dfrac{3500}{3}\\ \text{N}\approx1166{,}67\\ \text{N}.
  • Isso corresponde à alternativa (a) (arredondando para unidades: R_A\approx667\\ \text{N} e R_B\approx1167\\ \text{N}).

Resposta

R_A=\frac{2000}{3}\\ \text{N}\approx666{,}67\\ \text{N}
R_B=\frac{3500}{3}\\ \text{N}\approx1166{,}67\\ \text{N}

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