Um motor alternativo quatro tempos, quatro cilindros, consome 2,329 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{mim} de ar a 3200 rpm . A eficiência volumétrica é 0,91 . O diâmetro dos pistões é 77,5 \mathrm{~mm}. Calcular o curso.

Passo 1

O que o problema pede: calcular o curso (o deslocamento axial do pistão) do motor.
Dados fornecidos:
\begin{aligned} &\text{Vazão de ar ingerida: }Q=2{,}329\\ \mathrm{m^{3}/min},\\\ &\text{Rotação: }\text{RPM}=3200\\ \mathrm{rpm},\\\ &\text{Eficiência volumétrica: }\eta_{v}=0{,}91,\\\ &\text{Número de cilindros: }N=4,\\\ &\text{Diâmetro dos pistões (curso a achar): }D=77{,}5\\ \mathrm{mm}. \end{aligned}ãçãêéúâõ
Observações sobre as unidades: vou trabalhar no SI, então converto o diâmetro para metros quando necessário.
Nenhuma outra informação será solicitada — o objetivo é achar o curso S.

Passo 2

Entendendo os conceitos importantes (explicação didática):
  • O volume varrido por um pistão em um só movimento (de um ponto morto superior ao ponto morto inferior) chama-se volume varrido ou deslocamento por cilindro e vamos chamar de V_s. Para um cilindro de diâmetro D e curso S,
V_s=\frac{\pi}{4}D^{2}S.
Aqui D é o diâmetro do pistão (em metros), S é o curso (em metros) e \pi é a constante 3,1415…
  • Eficiência volumétrica \eta_{v} é a razão entre o volume de ar realmente admitido e o volume teórico varrido. Ou seja, o volume real admitido por ciclo por cilindro é \eta_{v}V_s.
  • Em um motor quatro tempos cada cilindro admite carga apenas a cada duas rotações do virabrequim (uma admissão por 2 revoluções). Logo, a frequência de admissões por minuto por cilindro é \dfrac{\text{RPM}}{2}.
  • Para N cilindros, a vazão volumétrica real de ar admitida por minuto é
Q=\eta_{v}\,N\,V_s\cdot\frac{\text{RPM}}{2}.
Esta fórmula é crucial e é onde vamos apoiar a resolução.

Passo 3

Isolando o curso S na fórmula. Substituindo V_s=\dfrac{\pi}{4}D^{2}S em Q=\eta_{v}N V_s\frac{\text{RPM}}{2} temos:
Q=\eta_{v}N\left(\frac{\pi}{4}D^{2}S\right)\frac{\text{RPM}}{2}.
Agora resolvemos para S. Primeiro reorganizamos:
Q=\eta_{v}N\frac{\pi}{4}D^{2}S\cdot\frac{\text{RPM}}{2}.
Multiplicando denominadores e isolando S:
S=\frac{2Q}{\eta_{v}N\left(\dfrac{\pi}{4}D^{2}\right)\text{RPM}}.
Podemos simplificar 2/(\pi/4)=8/\pi, obtendo uma forma equivalente muito prática:
S=\frac{8Q}{\eta_{v}N\pi D^{2}\,\text{RPM}}.

Passo 4

Substituição numérica passo a passo (conversões e contas explicadas):
  • Converter o diâmetro para metros:
D=77{,}5\\ \mathrm{mm}=0{,}0775\\ \mathrm{m}.
  • Calcular D^{2}:
D^{2}=0{,}0775^{2}=0{,}00600625\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Calcular \pi D^{2}:
\pi D^{2}\approx 3{,}14159265\times 0{,}00600625=0{,}0188691908756\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Calcular o numerador 8Q:
8Q=8\times 2{,}329=18{,}632\\ \mathrm{m^{3}/min}.
  • Calcular o denominador \eta_{v}N\pi D^{2}\,\text{RPM}:
\begin{aligned} \pi D^{2}\cdot\text{RPM}&=0{,}0188691908756\times 3200=60{,}3814108019958,\\\ N\cdot(\pi D^{2}\cdot\text{RPM})&=4\times 60{,}3814108019958=241{,}5256432079832,\\\ \eta_{v}\cdot\bigl(N\pi D^{2}\text{RPM}\bigr)&=0{,}91\times 241{,}5256432079832=219{,}7883353192647. \end{aligned}
  • Finalmente S:
S=\frac{18{,}632}{219{,}7883353192647}\approx 0{,}08477\\ \mathrm{m}.
  • Converter para milímetros (mais usual para curso de pistão):
S\approx 0{,}08477\\ \mathrm{m}=84{,}77\\ \mathrm{mm}.

Passo 5

Pequena verificação e interpretação: o resultado dá um curso de cerca de 85\\ \mathrm{mm}, o que é compatível com motores de quatro cilindros com diâmetro de 77{,}5\\ \mathrm{mm} (relação curso/diâmetro próxima de 1,1). Isso ajuda a confirmar que o resultado não está absurdo.

Resposta

S\approx 84{,}8\\ \mathrm{mm}

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