Um motor de Carnot deve operar com pelo menos 15 \% de rendimento. A fonte quente será água fervente a 100^{\circ} \mathrm{C} e a fonte fria deverá ser água corrente a uma certa temperatura T . Calcule a T máxima da água de resfriamento para que o rendimento se mantenha no mínimo a 15 \%. Resp: 317 K

Passo 1

O enunciado pede: determinar a temperatura máxima T da água de resfriamento (fonte fria) para que um motor de Carnot, cuja fonte quente é água fervente a 100^\circ\text{C}, tenha rendimento pelo menos 15\%.
Informações dadas:
  • Rendimento mínimo exigido: \eta_{\min}=15\% = 0{,}15.
  • Temperatura da fonte quente (água fervente): 100^\circ\text{C}.
  • Temperatura da fonte fria: T (desconhecida) — queremos o valor máximo de T que ainda garante \eta \ge 0{,}15.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicando bem como funciona): para um motor reversível de Carnot, o rendimento máximo possível depende só das temperaturas absolutas das duas fontes e é dado por
\eta_{\text{Carnot}} = 1 - \frac{T_{\text{fria}}}{T_{\text{quente}}}.
Aqui:
  • \eta_{\text{Carnot}} é o rendimento máximo (fração adimensional, ex.: 0{,}15 para 15\%);
  • T_{\text{fria}} é a temperatura absoluta da fonte fria (em kelvin, \text{K});
  • T_{\text{quente}} é a temperatura absoluta da fonte quente (em kelvin, \text{K}).
Por que usar kelvin? Porque a fórmula de Carnot usa temperaturas absolutas; graus Celsius têm zero arbitrário diferente, então sempre converter para kelvin antes de aplicar a fórmula. A conversão é
T(\text{K}) = t(^\circ\text{C}) + 273{,}15.

Passo 3

Escrever a condição de rendimento mínimo e isolar T_{\text{fria}}. Queremos
\eta_{\text{Carnot}} \ge 0{,}15.
Substituindo a fórmula,
1 - \frac{T_{\text{fria}}}{T_{\text{quente}}} \ge 0{,}15.
Rearranjando para \frac{T_{\text{fria}}}{T_{\text{quente}}}:
\frac{T_{\text{fria}}}{T_{\text{quente}}} \le 1 - 0{,}15 = 0{,}85.
Multiplicando ambos os lados por T_{\text{quente}},
T_{\text{fria}} \le 0{,}85\,T_{\text{quente}}.
Assim, para cumprir o requisito, a temperatura da água de resfriamento deve ser no máximo 0{,}85 vezes a temperatura absoluta da fonte quente.

Passo 4

Converter a temperatura da fonte quente para kelvin e calcular numericamente. A fonte quente é 100^\circ\text{C}, então
T_{\text{quente}} = 100 + 273{,}15 = 373{,}15\\ \text{K}.
Agora aplicar a desigualdade
T_{\text{fria}} \le 0{,}85 \times 373{,}15.
Fazer a multiplicação sem calculadora mostrando passo a passo:
0{,}85 = \frac{85}{100},\quad 373{,}15 \times \frac{85}{100} = \frac{373{,}15\times85}{100}.
Calcular 373{,}15\times85 como 373{,}15\times(100-15)=373{,}15\times100 - 373{,}15\times15.
373{,}15\times100=37315{,} \qquad 373{,}15\times15 = 373{,}15\times(10+5)=3731{,}5 + 1865{,}75 = 5597{,}25.
Subtraindo,
37315 - 5597{,}25 = 31717{,}75.
Dividindo por 100,
T_{\text{fria}} \le \frac{31717{,}75}{100} = 317{,}1775\\ \text{K}.
(Observação: na prática usa-se T_{\text{quente}}=373\\ \text{K} arredondado e obtém-se 373\times0{,}85=317{,}05\\ \text{K}. Ambos dão o mesmo resultado dentro da precisão típica; o enunciado fornece resposta 317\\ \text{K}.)

Passo 5

Interpretando e arredondando para resposta prática: a temperatura máxima da água de resfriamento deve ser aproximadamente 317{,}0\\ \text{K}. Em termos físicos, isso significa que se a água de resfriamento estiver mais quente do que cerca de 317\\ \text{K} o motor de Carnot entre 100^\circ\text{C} e essa água não alcançará rendimento de 15\% nem superior.
Força aí — missão cumprida: achamos a temperatura máxima que garante o rendimento mínimo pedido.

Resposta

317\\ \text{K}

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