Um motor de Carnot deve operar com pelo menos
de rendimento. A fonte quente será água fervente a
e a fonte fria deverá ser água corrente a uma certa temperatura T . Calcule a T máxima da água de resfriamento para que o rendimento se mantenha no mínimo a
. Resp: 317 K
Passo 1
O enunciado pede: determinar a temperatura máxima
da água de resfriamento (fonte fria) para que um motor de Carnot, cuja fonte quente é água fervente a
, tenha rendimento pelo menos
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- Rendimento mínimo exigido:
. - Temperatura da fonte quente (água fervente):
. - Temperatura da fonte fria:
(desconhecida) — queremos o valor máximo de que ainda garante .
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicando bem como funciona): para um motor reversível de Carnot, o rendimento máximo possível depende só das temperaturas absolutas das duas fontes e é dado por
Aqui:
-
é o rendimento máximo (fração adimensional, ex.: para ); -
é a temperatura absoluta da fonte fria (em kelvin, ); -
é a temperatura absoluta da fonte quente (em kelvin, ).
Por que usar kelvin? Porque a fórmula de Carnot usa temperaturas absolutas; graus Celsius têm zero arbitrário diferente, então sempre converter para kelvin antes de aplicar a fórmula. A conversão é
Passo 3
Escrever a condição de rendimento mínimo e isolar
. Queremos
Substituindo a fórmula,
Rearranjando para
:
Multiplicando ambos os lados por
,
Assim, para cumprir o requisito, a temperatura da água de resfriamento deve ser no máximo
vezes a temperatura absoluta da fonte quente.
Passo 4
Converter a temperatura da fonte quente para kelvin e calcular numericamente. A fonte quente é
, então
Agora aplicar a desigualdade
Fazer a multiplicação sem calculadora mostrando passo a passo:
Calcular
como
.
Subtraindo,
Dividindo por
,
(Observação: na prática usa-se
arredondado e obtém-se
. Ambos dão o mesmo resultado dentro da precisão típica; o enunciado fornece resposta
.)
Passo 5
Interpretando e arredondando para resposta prática: a temperatura máxima da água de resfriamento deve ser aproximadamente
. Em termos físicos, isso significa que se a água de resfriamento estiver mais quente do que cerca de
o motor de Carnot entre
e essa água não alcançará rendimento de
nem superior.
Força aí — missão cumprida: achamos a temperatura máxima que garante o rendimento mínimo pedido.