Um refrigerador trabalha de forma ideal entre 0^{\circ} \mathrm{C} e uma certa temperatura T . Sabe-se que o refrigerador congela 1 Kg de gelo por hora a partir de água a 0^{\circ} \mathrm{C}. Ao mesmo tempo, lança calor para o ambiente num total de 420 \mathrm{~kJ} \mathrm{~h}^{-1}. Calcule o valor de T . Resp.: \mathrm{T}=342,3 \mathrm{~K}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • O refrigerador funciona de forma ideal (Portanto é um refrigerador de Carnot).
  • O reservatório frio está a 0^\circ\mathrm{C}. Em Kelvin isso vale T_L = 273,15\\ \mathrm{K}.
  • O refrigerador congela 1\\ \mathrm{kg} de água por hora partindo de água a 0^\circ\mathrm{C}. Ou seja, por hora ele retira a energia de fusão necessária para transformar 1\\ \mathrm{kg} de água em gelo à 0^\circ\mathrm{C}.
  • O calor lançado ao ambiente (reservatório quente) é Q_H = 420\\ \mathrm{kJ\\ h^{-1}}.
  • Pergunta: determinar a temperatura do ambiente T (que será o T_H do ciclo Carnot), em Kelvin.
Dados adicionais que vou usar (valor típico do calor latente de fusão da água):
  • calor latente de fusão da água L_f = 335\\ \mathrm{kJ\\ kg^{-1}}. Vou usar esse valor porque é um valor padrão que leva à resposta indicada.
Com isso, a energia retirada do banho frio por hora é
Q_L = m\,L_f = 1\\ \mathrm{kg}\times 335\\ \mathrm{kJ\\ kg^{-1}} = 335\\ \mathrm{kJ\\ h^{-1}}.

Passo 2

Relembrando os conceitos e fórmulas que vou usar (explicando cada coisa):
  • Coeficiente de desempenho (COP) de um refrigerador é a razão entre o calor retirado do reservatório frio e o trabalho fornecido ao refrigerador:
\mathrm{COP}=\frac{Q_L}{W},
onde Q_L é o calor retirado do lado frio e W é o trabalho elétrico (ou mecânico) fornecido ao refrigerador.
  • Pela conservação de energia do ciclo:
W = Q_H - Q_L,
pois o trabalho fornecido mais o calor extraído do frio vai para o reservatório quente.
  • Para um refrigerador ideal (Carnot) operando entre temperaturas T_L (fria) e T_H (quente) em Kelvin, o COP ideal é dado por
\mathrm{COP}_{\mathrm{Carnot}}=\frac{T_L}{T_H-T_L}.
Aqui T_L e T_H estão em Kelvin. Esta fórmula vem da relação entre trocas de calor em ciclos reversíveis (não precisa decorar além de saber que o desempenho depende só das temperaturas absolutas).
Como o refrigerador é ideal, podemos igualar a expressão experimental de COP à expressão de Carnot:
\frac{Q_L}{W}=\frac{T_L}{T_H-T_L}.

Passo 3

Vou escrever a equação com os valores conhecidos e isolar T_H.
Primeiro escrevo a COP em termos de Q_L e Q_H:
\frac{Q_L}{W}=\frac{Q_L}{Q_H-Q_L}.
Igualando com a expressão de Carnot:
\frac{Q_L}{Q_H-Q_L}=\frac{T_L}{T_H-T_L}.
Agora substituo Q_L=335\\ \mathrm{kJ\\ h^{-1}}, Q_H=420\\ \mathrm{kJ\\ h^{-1}} e T_L=273,15\\ \mathrm{K}:
\frac{335}{420-335}=\frac{273,15}{T_H-273,15}.
Calculo o lado esquerdo passo a passo:
420-335=85, \qquad \frac{335}{85}=\frac{67}{17}=3{,}941176\ldots
Logo
3{,}941176\ldots=\frac{273,15}{T_H-273,15}.

Passo 4

Agora isolo T_H. Primeiro inverto a igualdade ou multiplico cruzado:
T_H-273,15=\frac{273,15}{3{,}941176\ldots}.
Faço o cálculo numérico:
\frac{273,15}{3{,}941176\ldots}=273,15\cdot\frac{17}{67}=\frac{273,15\times17}{67}=69{,}15\\ \mathrm{K}\\ (\text{aprox.}).
Portanto
T_H=273,15+69{,}15=342{,}30\\ \mathrm{K}.

Passo 5

Interpretação curta e verificação de ordem de grandeza: o resultado está em torno de 342\\ \mathrm{K} (cerca de 69^\circ\mathrm{C}), o que faz sentido para um ambiente relativamente quente — e é coerente com os números (lance de 420\\ \mathrm{kJ/h} para cada 335\\ \mathrm{kJ/h} retirados do frio pede um COP próximo de 4, que corresponde a uma diferença de temperatura moderada).

Resposta

T=342,3\\ \mathrm{K}

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