Qual é a velocidade a vazio desse motor de excitação independente quando R_{\text {aj }}=175 \Omega e
V_{A}=180 \mathrm{Ve}

Passo 1

O enunciado pede a velocidade a vazio do motor de excitação independente e fornece duas quantidades:
\,R_{\text{aj}} = 175\\ \Omega, e \,V_{A}=180\\ \mathrm{V}\, (escrevo \mathrm{V} em vez de “Ve” para ficar claro que é tensão).
O que precisamos entregar: a velocidade a vazio (normalmente em \,\mathrm{rpm}\, ou \,\mathrm{rad/s}\,).
Informações que o enunciado NÃO fornece explicitamente (mas que geralmente são necessárias): constantes do motor como a constante eletromotriz/constante de torque associada ao fluxo ( k\Phi), a resistência total da armadura efetiva ( R_a) — se \,R_{\text{aj}}\, é só o reostato ou já é a resistência total da armadura — e a corrente de vazio (perdas de atrito e ventilação) \,I_0. Vou continuar assumindo que o enunciado está correto, mas não tenho esses valores numéricos adicionais.

Passo 2

Conceito físico e equações fundamentais (aulas rápidas, passo a passo, sem pular etapas).
  • Em um motor CC de excitação independente, a tensão aplicada à armadura é repartida entre a fem contraeletromotriz (chamarei de E) e a queda de tensão na resistência da armadura:
V_A = E + I_A R_a.
Expliquei cada termo: \,V_A é a tensão na armadura (dada), \,E é a fem induzida (back-EMF), \,I_A é a corrente na armadura, e \,R_a é a resistência da armadura (soma da resistência do enrolamento mais qualquer reostato em série).
  • A fem induzida é proporcional ao fluxo por polo \Phi e à velocidade angular \omega:
E = k\Phi\,\omega,
onde \,k é uma constante que depende do enrolamento e da construção do motor, \Phi é o fluxo por polo (geralmente proporcional à corrente de excitação, mas para excitação independente com campo constante podemos tratar k\Phi como constante). Aqui \omega está em \mathrm{rad/s}. Se preferirmos velocidade em rotações por minuto \,n (rpm), usamos a relação \omega = 2\pi n/60 e então podemos empacotar k\Phi numa constante prática que relaciona E a n.
  • Em vazio (sem carga mecânica) a corrente de armadura \,I_A fica muito pequena (somente a corrente que vence atrito, ventilação e perdas); muitas vezes, para um cálculo aproximado de velocidade a vazio, aproximamos \,I_A \approx 0. Se fizermos essa aproximação, da equação da armadura fica:
E \approx V_A.
Logo, a velocidade a vazio é obtida por
\omega_0 = \frac{V_A}{k\Phi} \quad\text{ou}\quad n_0 = \frac{60}{2\pi}\,\frac{V_A}{k\Phi}.

Passo 3

O que falta numericamente e por que é importante — aula prática sobre como fechar o cálculo.
  • Preciso de \,k\Phi para transformar a tensão E em uma velocidade. Sem \,k\Phi não há vínculo numérico entre volts e rpm.
    • Como normalmente se obtém \,k\Phi? A partir de dados de placa/nome do motor: se o fabricante dá uma tensão nominal \,V_{A,\text{nom}} e uma velocidade nominal \,n_{\text{nom}} (em regime sem carga ou com carga conhecida), pode-se estimar
    k\Phi \approx \frac{E_{\text{nom}}}{\omega_{\text{nom}}}e, se \,I_{A,\text{nom}}R_a não for desprezível, usar a forma exata k\Phi = \frac{V_{A,\text{nom}} - I_{A,\text{nom}} R_a}{\omega_{\text{nom}}}.Lembre: \omega_{\text{nom}} = 2\pi n_{\text{nom}}/60.
  • Também é preciso saber se \,R_{\text{aj}}=175\\ \Omega é a resistência total da armadura ( R_a) ou apenas um reostato em série que deve ser somado à resistência do enrolamento. Se for apenas o reostato, preciso conhecer a resistência do enrolamento para saber R_a. A queda de tensão \,I_A R_a pode não ser desprezível.
  • Se quisermos precisão melhor que a aproximação I_A\approx 0, precisamos saber a corrente de vazio \,I_0 e usar a expressão exata:
n_0 = \frac{60}{2\pi}\,\frac{V_A - I_{0} R_a}{k\Phi}.

Passo 4

Exemplos numéricos didáticos (para você entender como aplicar na prova) — dois cenários para praticar: aproximação comum e cálculo exato se soubermos \,k\Phi e \,I_0.
Exemplo A — aproximação prática (quando \,I_0 é muito pequeno): suponha que você já saiba por dados do motor que \,k\Phi = 0{,}9\\ \mathrm{V\,s/rad}. Então:
  • Converter \,V_A em fem aproximada: E \approx V_A = 180\\ \mathrm{V}.
  • Calcular \omega_0:
\omega_0 = \frac{E}{k\Phi} = \frac{180}{0{,}9} = 200\\ \mathrm{rad/s}.
  • Converter para rpm:
n_0 = \frac{60}{2\pi}\,200 \approx \frac{60}{6{,}2832}\cdot 200 \approx 1910{,}9\\ \mathrm{rpm}.
Esse é o procedimento se você tiver \,k\Phi.
Exemplo B — cálculo exato com corrente de vazio: suponha que k\Phi = 0{,}9\\ \mathrm{V\,s/rad}, R_a = 175\\ \Omega (ou seja, \,R_{\text{aj}} é a resistência total) e a corrente de vazio medida seja I_0 = 0{,}5\\ \mathrm{A}. Então:
  • Calcule queda de tensão: I_0 R_a = 0{,}5\times 175 = 87{,}5\\ \mathrm{V}.
  • Calcule E = V_A - I_0 R_a = 180 - 87{,}5 = 92{,}5\\ \mathrm{V}.
  • Calcule \omega_0 = E/(k\Phi) = 92{,}5/0{,}9 \approx 102{,}78\\ \mathrm{rad/s}.
  • Converta para rpm: n_0 = (60/2\pi)\,102{,}78 \approx 981{,}6\\ \mathrm{rpm}.
    Isso mostra como a queda de tensão na resistência pode reduzir muito a velocidade.

Passo 5

Resumo do procedimento que você deverá usar na prova (passo a passo rápido que dá para aplicar de cabeça):
  1. Identifique V_A e R_a (se \,R_{\text{aj}} for só um reostato, some com a resistência do enrolamento).
  2. Se houver dado da constante k\Phi (ou dados nominais que permitam calculá-la), calcule k\Phi.
  3. Se for aceitável aproximar I_A\approx 0 (vazio), use E\approx V_A e calcule n_0 = \dfrac{60}{2\pi}\dfrac{V_A}{k\Phi}.
  4. Caso você tenha a corrente de vazio I_0, use a fórmula exata n_0 = \dfrac{60}{2\pi}\dfrac{V_A - I_0 R_a}{k\Phi}.
  5. Cuidado com unidades: \omega em \mathrm{rad/s}, n em \mathrm{rpm}, e sempre converter com \omega = 2\pi n/60.

Resposta

Não é possível calcular numericamente a velocidade a vazio com os dados fornecidos. Faltam, no mínimo, o valor de k\Phi (constante eletromotriz do motor) e a confirmação se R_{\text{aj}}=175\\ \Omega é a resistência total da armadura R_a ou apenas um reostato. Se for necessária maior precisão, também falta a corrente de vazio I_0. Com esses dados eu consigo dar o valor numérico aplicando as fórmulas mostradas acima.

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