Um motor de corrente contínua, ligação shunt, 50 \mathrm{~kW}, 250 volts, possui resistência de armadura de 0.06 ohms e de resistência de campo de 125 ohms. Determine:
a) a corrente a plena carga;
b) a tensão induzida a plena carga;
c) determine a curva da tensão de saída versus corrente
d) potência eletromagnética a plena carga;
e) a potência do enrolamento de excitação;
f) a potência fornecida pela máquina primária na condição de plena carga considerando as perdas mecânicas como 3 kW e as perdas magnéticas de 4 kW ;
g) o torque no eixo a plena carga para uma rotação de 1150 rpm ;
h) o rendimento da máquina na condição de carga nominal.

Passo 1

Resumo do que o enunciado dá e pede (vou listar tudo com calma para você não se perder):
  • Dados do motor:
    • Potência nominal (saída mecânica): \displaystyle P_{\text{mec}}=50\\ \mathrm{kW}.
    • Tensão de alimentação (terminal): \displaystyle V=250\\ \mathrm{V}.
    • Resistência da armadura: \displaystyle R_a=0,06\\ \Omega.
    • Resistência do enrolamento de campo (shunt): \displaystyle R_f=125\\ \Omega.
  • Perguntas:
    a) corrente à plena carga (isto é, corrente total fornecida pela fonte);
    b) tensão induzida (força contraeletromotriz) à plena carga;
    c) obter a curva (relação) da tensão de saída em função da corrente;
    d) potência eletromagnética (desenvolvida no entreferro) à plena carga;
    e) potência no enrolamento de excitação (campo);
    f) potência fornecida pela fonte (entrada elétrica) à plena carga, considerando perdas mecânicas 3\\ \mathrm{kW} e perdas magnéticas 4\\ \mathrm{kW};
    g) torque no eixo à plena carga para n=1150\\ \mathrm{rpm};
    h) rendimento (eficiência) da máquina na carga nominal.

Passo 2

Calcular a corrente de excitação do campo (é a parte fácil): a bobina de campo está em paralelo com a alimentação, então a corrente de campo é
I_f=\frac{V}{R_f}.
Substituindo:
I_f=\frac{250}{125}=2\\ \mathrm{A}.
Explicação didática: o enrolamento de campo recebe a mesma tensão da fonte porque é ligação shunt; a corrente de campo é simplesmente a tensão dividida pela resistência (Lei de Ohm).

Passo 3

Determinar a potência eletromagnética desenvolvida (passo necessário para achar correntes): a potência mecânica disponível no eixo P_{\text{mec}} é menor que a potência eletromagnética P_{em} porque parte desta última é gasta nas perdas mecânicas e nas perdas magnéticas (fornos magnéticos / perdas no ferro). O enunciado dá essas perdas:
\text{perdas mecânicas}=3\\ \mathrm{kW},\qquad \text{perdas magnéticas}=4\\ \mathrm{kW}.âé
Logo
P_{em}=P_{\text{mec}}+\text{perdas mecânicas}+\text{perdas magnéticas}âé
P_{em}=50{,}000+3{,}000+4{,}000=57{,}000\\ \mathrm{W}.
Comentário didático: P_{em} é a potência elétrica convertida pelo entreferro em potência mecânica bruta; depois dela ainda saem as perdas mecânicas e de ferro para dar a potência de eixo.

Passo 4

Relacionar P_{em} com a tensão induzida e a corrente de armadura: a potência eletromagnética também é dada por
P_{em}=E\cdot I_a,
onde E é a força contraeletromotriz (tensão induzida) e I_a a corrente na armadura. Além disso, a equação da armadura (Lei de Ohm na armadura) é
V=E+R_a I_a.
Substituindo E=V-R_aI_a em P_{em}=E I_a obtemos uma equação em I_a:
P_{em}=(V-R_a I_a)I_a \quad\Longrightarrow\quad R_a I_a^2 - V I_a + P_{em}=0.
Isto é uma equação quadrática em I_a. Vamos resolver.

Passo 5

Resolver a quadrática para I_a. A equação é
0{,}06\,I_a^2 - 250\,I_a + 57000 = 0.
Usamos a fórmula quadrática. O discriminante é
\Delta = V^2 - 4 R_a P_{em} = 250^2 - 4\cdot 0{,}06\cdot 57000 = 62500 - 13680 = 48820.
Portanto
I_a=\frac{250\pm\sqrt{48820}}{2\cdot 0{,}06}=\frac{250\pm 220{,}95}{0{,}12}.
As duas soluções numéricas são
I_{a1}=\frac{250-220{,}95}{0{,}12}\approx 242{,}08\\ \mathrm{A},
I_{a2}=\frac{250+220{,}95}{0{,}12}\approx 3924{,}6\\ \mathrm{A}.
Explicação prática: descartamos a solução muito alta porque é fisicamente impossível para regime nominal; a solução correta é I_a\approx 242{,}08\\ \mathrm{A}.

Passo 6

Calcular a corrente total fornecida pela fonte (parte a) do enunciado). A corrente total é soma da corrente de armadura com a corrente de campo:
I_{\text{total}}=I_a+I_f=242{,}08+2=244{,}08\\ \mathrm{A}.
Observação: aqui estamos usando aproximação razoável com duas casas decimais.

Passo 7

Calcular a tensão induzida E à plena carga (parte b). Use E=V-R_a I_a:
E=250 - 0{,}06\cdot 242{,}08 \approx 250 - 14{,}525=235{,}475\\ \mathrm{V}.
Verificação alternativa (confirmação): P_{em}=E I_a\Rightarrow E=\dfrac{57000}{242{,}08}\approx 235{,}48\\ \mathrm{V}, consistente com o resultado acima.

Passo 8

Responder a parte c) — escrever a curva (relação) tensão de saída versus corrente, e explicar como usar na prova.
  • Se por “tensão de saída” o enunciado quis a força contraeletromotriz E em função da corrente de armadura I_a, a relação é linear:
\boxed{E(I_a)=V-R_a I_a.}
No caso numérico:
\boxed{E(I_a)=250 - 0{,}06\;I_a\quad(\text{com }I_a\text{ em A e }E\text{ em V}).}
Interpretação: é uma reta com intercepto 250\\ \mathrm{V} quando I_a=0 e declive (pendente) -0{,}06\\ \mathrm{V/A}. Assim, a cada ampère que aumenta na armadura, E cai 0{,}06\\ \mathrm{V} por causa da queda de tensão na resistência da armadura.
  • Se preferir expressar em termos da corrente total I=I_a+I_f, isolamos I_a=I-I_f e obtemos
E(I)=250 - 0{,}06\,(I-2)=250 - 0{,}06\,I + 0{,}12.
Ou seja,
E(I)=250{,}12 - 0{,}06\,I.
Na prática, na prova normalmente é suficiente escrever E=V-R_a I_a e explicar que é linear; esse é o macete.

Passo 9

Parte d): potência eletromagnética a plena carga — já calculada no Passo 3, mas reafirmo e explico:
P_{em}=57{,}000\\ \mathrm{W}=57\\ \mathrm{kW}.
A interpretação: é a potência elétrica convertida no entreferro (antes de subtrair perdas mecânicas e de ferro).

Passo 10

Parte e): potência do enrolamento de excitação (perda no campo). É simplesmente V\cdot I_f:
P_f=V I_f=250\cdot 2=500\\ \mathrm{W}=0{,}5\\ \mathrm{kW}.
Comentário: essa é perda ôhmica do enrolamento de campo; é dissipada em calor e retirada da fonte.

Passo 11

Parte f): potência fornecida pela fonte (entrada elétrica) na plena carga. Podemos calcular como
P_{\text{in}}=V(I_a+I_f)=250\cdot 244{,}08\approx 61{,}020{,}8\\ \mathrm{W}\approx 61{,}02\\ \mathrm{kW}.
Verificação por somas das perdas:
P_{\text{in}}=P_{em} + I_a^2 R_a + V I_f
onde I_a^2 R_a é a perda ôhmica na armadura. Calculando I_a^2 R_a indiretamente:
I_a^2 R_a = V I_a - P_{em}=250\cdot 242{,}08 - 57{,}000 \approx 3{,}520{,}8\\ \mathrm{W},
assim P_{\text{in}}=57{,}000+3{,}520{,}8+500\approx 61{,}020{,}8\\ \mathrm{W}, consistente.

Passo 12

Parte g): torque no eixo à plena carga para n=1150\\ \mathrm{rpm}. Relação entre potência mecânica e torque:
P_{\text{mec}}=T\omega,\qquad \omega=\frac{2\pi n}{60}.
Calcule \omega e T:
\omega=\frac{2\pi\cdot 1150}{60}\approx 120{,}442\\ \mathrm{rad/s},
T=\frac{P_{\text{mec}}}{\omega}=\frac{50{,}000}{120{,}442}\approx 415{,}06\\ \mathrm{N\cdot m}.
Interpretação: esse é o torque útil no eixo (após subtrair as perdas mecânicas e de ferro).

Passo 13

Parte h): rendimento na condição de carga nominal. Rendimento é razão entre potência de saída mecânica e potência elétrica de entrada:
\eta=\frac{P_{\text{mec}}}{P_{\text{in}}}=\frac{50{,}000}{61{,}020{,}8}\approx 0{,}8193\approx 81{,}93\%.
Comentário motivacional: ou seja, perto de 82\% — é um valor típico para um motor de grande porte quando incluindo perdas magnéticas e mecânicas.

Resposta

a) \;I_{\text{total}}=244{,}08\\ \mathrm{A}
b) \;E=235{,}48\\ \mathrm{V}
c) \;E(I_a)=250-0{,}06\,I_a\quad (em alternativa E(I)=250{,}12-0{,}06\,I se usar I=I_a+I_f)
d) \;P_{em}=57{,}000\\ \mathrm{W}
e) \;P_f=500\\ \mathrm{W}
f) \;P_{\text{in}}=61{,}020{,}8\\ \mathrm{W}
g) \;T=415{,}06\\ \mathrm{N\cdot m}
h) \;\eta=81{,}93\\ \%

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