Um trem elétrico tem uma massa de 12500 Kg . Um sistema de acionamento é requerido para fornecer uma aceleração ou desaceleração máximas de
, em velocidades baixas. Este sistema é constituído de uma máquina cc acoplada as rodas do trem através de uma caixa de engrenagem. Um controlador eletrônico fornece uma tensão controlada para o motor até um valor máximo de 600 V , que está disponível nos cabos de alimentação do trem. A potência elétrica consumida pelo motor é limitada a um valor máximo de 100 kW . Despreze as perdas nos cálculos a seguir e também considere que o trem opere numa superfície plana:
a) até que velocidade
a aceleração máxima é mantida?
b) Se a velocidade máxima do trem for
e que a velocidade máxima do motor for de 4500 rpm , qual deve ser o valor mínimo da constante de fluxo deste motor?
c) qual deve ser o valor máximo da constante de fluxo com a corrente de campo máxima?
d) qual deve ser a tensão de armadura na velocidade de
?
a) até que velocidade
a aceleração máxima é mantida?
b) Se a velocidade máxima do trem for
c) qual deve ser o valor máximo da constante de fluxo com a corrente de campo máxima?
d) qual deve ser a tensão de armadura na velocidade de
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pedidos (vou listar TUDO que vamos usar):
- massa do trem:
. - aceleração (ou desaceleração) máxima desejada:
. - tensão máxima disponível nos cabos do trem:
. - potência elétrica máxima disponível para o motor:
. - velocidade máxima do trem (b):
. - velocidade máxima do motor (b):
. - desprezamos perdas (resistências, atritos, eficiência de caixa etc.) e a operação é em superfície plana.
- o motor cc está acoplado às rodas por uma caixa de engrenagens (razão de transmissão será obtida a partir dos dados).
Observação importante que vou assumir para poder relacionar torque do motor com força de tração: vou tomar um raio típico de roda de trem
(diâmetro
). Esta é uma suposição razoável para rodas de veículo ferroviário e é necessária porque o enunciado não dá o raio das rodas; sem um
não há como converter força de tração em torque no eixo do motor. Se você tiver outro valor de raio, os cálculos mudam substituindo
.
O que o exercício pede, resumido:
a) até que velocidade a aceleração máxima pode ser mantida (considerando limite de potência)?
b) dada e
, qual o valor mínimo da constante
do motor (constante de força contra-eletromotriz / constante de torque combinada com o fluxo)?
c) qual o valor máximo de supondo que a corrente disponível na armadura é limitada pela potência e tensão máximas (isto é, usando a corrente máxima de armadura)?
d) qual a tensão de armadura (tensão aplicada ao enrolamento de armadura) quando o trem está a , usando o valor de fluxo adequado (explicarei qual usamos)?
O que o exercício pede, resumido:
a) até que velocidade a aceleração máxima
b) dada
c) qual o valor máximo de
d) qual a tensão de armadura (tensão aplicada ao enrolamento de armadura) quando o trem está a
Passo 2
Conceitos e fórmulas fundamentais (mini-aula rápida e útil para a prova):
- Força de tração necessária para acelerar o trem (segunda lei de Newton):
. Aqui em newtons, em kg, em . - Potência mecânica que o motor precisa fornecer quando o trem se move com velocidade
e força é . Explicação: potência é taxa de trabalho; trabalho por distância é força vezes distância, então potência é força vezes velocidade. - Para manter a aceleração
a uma dada velocidade , a potência necessária é . - Se a potência elétrica disponível
for menor que , não dá para manter naquela velocidade (sem exceder o limite elétrico). Portanto, a velocidade limite onde a potência disponível começa a limitar a aceleração vem de e assim .
Vou aplicar isso diretamente no item (a).
Passo 3
Resolução do item (a) — até que velocidade a aceleração máxima é mantida?
Usamos a equação explicada: . Substituindo os valores:
Usamos a equação explicada:
Converter para
:
.
Interpretação prática: até (ou
) o motor pode fornecer a força necessária para
sem ultrapassar a potência elétrica disponível. Acima dessa velocidade a potência limite passa a reduzir a aceleração máxima possível.
Interpretação prática: até
Passo 4
Mini-aula sobre motores CC e constante
(muito importante para (b),(c),(d)):
- Num motor CC em regime estável (sem perdas), a tensão de armadura
é absorvida pelo termo de força contra-eletromotriz e pela queda ôhmica . Como desprezamos perdas, usamos . - A força contra-eletromotriz é proporcional ao produto da constante geométrica
pelo fluxo por polo e pela velocidade angular do rotor : . Aqui tem unidades (ou ). - A constante de torque do motor (torque por ampère) também é
, ou seja . Em unidades SI vale em e numericamente é igual ao valor em usado para contra-eletromotriz (é a mesma constante física). - Assim
liga tensão/velocidade (E = kΦ ω) e torque/corrente (T = kΦ I). Esse é o ponto chave: conhecer permite converter entre elétrica e mecânica. - No item (b) vamos usar
na velocidade máxima do motor (assumindo que não há queda ôhmica) para achar o menor que permita atingir a velocidade desejada sem que a fcem exceda a tensão disponível.
Passo 5
Resolução do item (b) — valor mínimo de
dado
e
.
Raciocínio: para que o motor possa atingir com a tensão
, a fcem naquela rotação não pode exceder
. Assim o menor
possível é obtido impondo
quando
(aqui
em
). Portanto
Raciocínio: para que o motor possa atingir
Convertemos
para
:
Agora
Interpretação: se
fosse menor que esse valor, o motor precisaria gerar uma fcem menor que
à rotação máxima e poderia, portanto, atingir a rotação com a tensão disponível; mas como queremos garantir que a fcem não ultrapasse a tensão disponível, esse é o limite que dá a menor constante compatível com os dados. Na prática esse valor é o mínimo para que com a tensão de alimentação o motor alcance 4500 rpm (com fluxos maiores o motor tenderá a estacionar em rotação menor para a mesma tensão).
Passo 6
Preparando os dados necessários para (c) e (d): relação velocidade motor ↔ velocidade do trem (caixa de engrenagens).
- Primeiro vamos determinar a razão de transmissão necessária para que quando o trem vai a
o motor rode a . Com a suposição : a velocidade angular das rodas é
Em
temos
Convertendo para rpm:
Assim a razão de transmissão (assumindo motor mais rápido que rodas) é
Significado: o motor gira cerca de
vezes para cada volta da roda nessa configuração.
Passo 7
Resolução do item (c) — valor máximo de
com a corrente máxima de armadura (corrente disponível).
Mini-aula curta: a corrente máxima de armadura é limitada pela potência e tensão máximas porque, desprezando perdas, a potência elétrica máxima entregue ao motor é
. Assim
Mini-aula curta: a corrente máxima de armadura
Substituindo:
No regime de arrancada/baixa velocidade, a potência elétrica pode ser baixa mas o torque necessário pode ser alto; o torque disponível é
. Para garantir a aceleração
no eixo motriz precisamos do torque motor mínimo
igual ao torque demandado pela força de tração transmitida às rodas, reduzido pela razão de transmissão:
- Força de tração requerida:
. - Torque demandado na roda:
. - Torque no eixo do motor necessário (devido à razão
): . Calculemos:
Para que esse torque seja produzido com a corrente máxima
, o produto
não pode ser maior que
Substituindo números:
e em unidades de constante de fcem (que são numericamente iguais):
Interpretação: se
fosse maior que esse valor, para produzir o torque requerido o motor exigiria menos corrente do que a disponível — na prática não há problema com isso — mas aqui estamos interpretando o enunciado como: qual o valor máximo de
compatível com a corrente máxima de armadura necessária para entregar o torque de tração pedido. Em muitos projetos de tração escolhe-se
entre os limites do item (b) e (c) para permitir combinar velocidade máxima e torque de arrancada com a corrente/potência disponíveis.
Passo 8
Resolução do item (d) — tensão de armadura na velocidade de
.
Decisões: em baixa velocidade (10 km/h = ) o motor precisa fornecer torque para manter aceleração
(se estivermos acelerando). Normalmente escolhe-se o fluxo para dar torque suficiente a partir da corrente disponível; portanto vamos usar
(fluxo máximo associado à corrente máxima) para estimar a fcem a essa velocidade — é o caso conservador quando o campo está ajustado para máxima tração. Também desprezamos queda ôhmica, logo a tensão de armadura exigida é aproximadamente a fcem:
.
Decisões: em baixa velocidade (10 km/h =
Cálculos: velocidade do trem
.
- velocidade angular das rodas:
- velocidade angular do motor:
- então a fcem (tensão de armadura aproximada) é
Interpretação: com o fluxo ajustado ao valor de máximo tração
, ao rodar a
o motor gera uma fcem de cerca de
; portanto a tensão aplicada à armadura será dessa ordem (desprezando quedas resistivas).
Resposta
a)
b)
c) (usando
e
)
d) a
(usando
e desprezando quedas ôhmicas)
b)
c)
d)