Um trem elétrico tem uma massa de 12500 Kg . Um sistema de acionamento é requerido para fornecer uma aceleração ou desaceleração máximas de 1 \mathrm{~m} / \mathrm{s} 2, em velocidades baixas. Este sistema é constituído de uma máquina cc acoplada as rodas do trem através de uma caixa de engrenagem. Um controlador eletrônico fornece uma tensão controlada para o motor até um valor máximo de 600 V , que está disponível nos cabos de alimentação do trem. A potência elétrica consumida pelo motor é limitada a um valor máximo de 100 kW . Despreze as perdas nos cálculos a seguir e também considere que o trem opere numa superfície plana:
a) até que velocidade
a aceleração máxima é mantida?
b) Se a velocidade máxima do trem for 72 \mathrm{~km} / \mathrm{h} e que a velocidade máxima do motor for de 4500 rpm , qual deve ser o valor mínimo da constante de fluxo deste motor?
c) qual deve ser o valor máximo da constante de fluxo com a corrente de campo máxima?
d) qual deve ser a tensão de armadura na velocidade de 10 \mathrm{~km} / \mathrm{h} ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pedidos (vou listar TUDO que vamos usar):
  • massa do trem: m=12500\\ \mathrm{kg}.
  • aceleração (ou desaceleração) máxima desejada: a_{\max}=1\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • tensão máxima disponível nos cabos do trem: V_{\max}=600\\ \mathrm{V}.
  • potência elétrica máxima disponível para o motor: P_{\max}=100\\ \mathrm{kW}=100000\\ \mathrm{W}.
  • velocidade máxima do trem (b): v_{\text{trem, max}}=72\\ \mathrm{km/h}=20\\ \mathrm{m/s}.
  • velocidade máxima do motor (b): n_{\text{motor, max}}=4500\\ \mathrm{rpm}.
  • desprezamos perdas (resistências, atritos, eficiência de caixa etc.) e a operação é em superfície plana.
  • o motor cc está acoplado às rodas por uma caixa de engrenagens (razão de transmissão será obtida a partir dos dados).
Observação importante que vou assumir para poder relacionar torque do motor com força de tração: vou tomar um raio típico de roda de trem r=0,5\\ \mathrm{m} (diâmetro 1{,}0\\ \mathrm{m}). Esta é uma suposição razoável para rodas de veículo ferroviário e é necessária porque o enunciado não dá o raio das rodas; sem um r não há como converter força de tração em torque no eixo do motor. Se você tiver outro valor de raio, os cálculos mudam substituindo r.
O que o exercício pede, resumido:
a) até que velocidade a aceleração máxima a_{\max} pode ser mantida (considerando limite de potência)?
b) dada v_{\text{trem, max}} e n_{\text{motor, max}}, qual o valor mínimo da constante k\Phi do motor (constante de força contra-eletromotriz / constante de torque combinada com o fluxo)?
c) qual o valor máximo de k\Phi supondo que a corrente disponível na armadura é limitada pela potência e tensão máximas (isto é, usando a corrente máxima de armadura)?
d) qual a tensão de armadura (tensão aplicada ao enrolamento de armadura) quando o trem está a 10\\ \mathrm{km/h}, usando o valor de fluxo adequado (explicarei qual usamos)?

Passo 2

Conceitos e fórmulas fundamentais (mini-aula rápida e útil para a prova):
  • Força de tração necessária para acelerar o trem (segunda lei de Newton): \displaystyle F=m\,a. Aqui F em newtons, m em kg, a em \mathrm{m/s^{2}}.
  • Potência mecânica que o motor precisa fornecer quando o trem se move com velocidade v e força F é \displaystyle P=F\,v. Explicação: potência é taxa de trabalho; trabalho por distância é força vezes distância, então potência é força vezes velocidade.
  • Para manter a aceleração a a uma dada velocidade v, a potência necessária é \displaystyle P=m\,a\,v.
  • Se a potência elétrica disponível P_{\max} for menor que m a v, não dá para manter a naquela velocidade (sem exceder o limite elétrico). Portanto, a velocidade limite v_{\text{lim}} onde a potência disponível começa a limitar a aceleração vem de \displaystyle P_{\max}=m a v_{\text{lim}} e assim \displaystyle v_{\text{lim}}=\dfrac{P_{\max}}{m a}.
    Vou aplicar isso diretamente no item (a).

Passo 3

Resolução do item (a) — até que velocidade a aceleração máxima é mantida?
Usamos a equação explicada: \displaystyle v_{\text{lim}}=\frac{P_{\max}}{m a_{\max}}. Substituindo os valores:
v_{\text{lim}}=\frac{100000}{12500\cdot 1}=\frac{100000}{12500}=8\\ \mathrm{m/s}.
Converter para \mathrm{km/h}: 8\\ \mathrm{m/s}\times 3{,}6=28{,}8\\ \mathrm{km/h}.
Interpretação prática: até 8{,}0\\ \mathrm{m/s} (ou 28{,}8\\ \mathrm{km/h}) o motor pode fornecer a força necessária para a_{\max}=1\\ \mathrm{m/s^{2}} sem ultrapassar a potência elétrica disponível. Acima dessa velocidade a potência limite passa a reduzir a aceleração máxima possível.

Passo 4

Mini-aula sobre motores CC e constante k\Phi (muito importante para (b),(c),(d)):
  • Num motor CC em regime estável (sem perdas), a tensão de armadura V é absorvida pelo termo de força contra-eletromotriz E e pela queda ôhmica R_{a}I_{a}. Como desprezamos perdas, usamos V\approx E.
  • A força contra-eletromotriz é proporcional ao produto da constante geométrica k pelo fluxo por polo \Phi e pela velocidade angular do rotor \omega: \displaystyle E=(k\Phi)\,\omega. Aqui k\Phi tem unidades \mathrm{V\cdot s} (ou \mathrm{V}/(\mathrm{rad/s})).
  • A constante de torque do motor (torque por ampère) também é k\Phi, ou seja \displaystyle T=(k\Phi)I_{a}. Em unidades SI k\Phi vale em \mathrm{Nm/A} e numericamente é igual ao valor em \mathrm{V\cdot s} usado para contra-eletromotriz (é a mesma constante física).
  • Assim k\Phi liga tensão/velocidade (E = kΦ ω) e torque/corrente (T = kΦ I). Esse é o ponto chave: conhecer k\Phi permite converter entre elétrica e mecânica.
  • No item (b) vamos usar E=V_{\max} na velocidade máxima do motor (assumindo que não há queda ôhmica) para achar o menor k\Phi que permita atingir a velocidade desejada sem que a fcem exceda a tensão disponível.

Passo 5

Resolução do item (b) — valor mínimo de k\Phi dado v_{\text{trem, max}} e n_{\text{motor, max}}.
Raciocínio: para que o motor possa atingir n_{\text{motor, max}}=4500\\ \mathrm{rpm} com a tensão V_{\max}=600\\ \mathrm{V}, a fcem naquela rotação não pode exceder 600\\ \mathrm{V}. Assim o menor k\Phi possível é obtido impondo E=V_{\max} quando \omega=\omega_{\max} (aqui \omega em \mathrm{rad/s}). Portanto
k\Phi_{\min}=\frac{V_{\max}}{\omega_{\max}}.
Convertemos n_{\text{motor, max}} para \omega_{\max}:
n_{\text{motor, max}}=4500\\ \mathrm{rpm}=\frac{4500}{60}=75\\ \mathrm{rev/s},
\omega_{\max}=75\cdot 2\pi=150\pi\\ \mathrm{rad/s}\approx 471{,}2389\\ \mathrm{rad/s}.
Agora
k\Phi_{\min}=\frac{600}{150\pi}=\frac{4}{\pi}\\ \mathrm{V\cdot s}\approx 1{,}273\\ \mathrm{V\cdot s}.
Interpretação: se k\Phi fosse menor que esse valor, o motor precisaria gerar uma fcem menor que 600\\ \mathrm{V} à rotação máxima e poderia, portanto, atingir a rotação com a tensão disponível; mas como queremos garantir que a fcem não ultrapasse a tensão disponível, esse é o limite que dá a menor constante compatível com os dados. Na prática esse valor é o mínimo para que com a tensão de alimentação o motor alcance 4500 rpm (com fluxos maiores o motor tenderá a estacionar em rotação menor para a mesma tensão).

Passo 6

Preparando os dados necessários para (c) e (d): relação velocidade motor ↔ velocidade do trem (caixa de engrenagens).
  • Primeiro vamos determinar a razão de transmissão necessária para que quando o trem vai a v_{\text{trem, max}}=20\\ \mathrm{m/s} o motor rode a 4500\\ \mathrm{rpm}. Com a suposição r=0{,}5\\ \mathrm{m}: a velocidade angular das rodas é
\omega_{\text{rodas}}=\frac{v}{r}.
Em v=20\\ \mathrm{m/s} temos
\omega_{\text{rodas}}=\frac{20}{0{,}5}=40\\ \mathrm{rad/s}.
Convertendo para rpm:
n_{\text{rodas}}=\frac{\omega_{\text{rodas}}}{2\pi}\cdot 60=\frac{40}{2\pi}\cdot 60\approx 381{,}972\\ \mathrm{rpm}.
Assim a razão de transmissão (assumindo motor mais rápido que rodas) é
g=\frac{n_{\text{motor, max}}}{n_{\text{rodas}}}=\frac{4500}{381{,}972}\approx 11{,}781.
Significado: o motor gira cerca de 11{,}781 vezes para cada volta da roda nessa configuração.

Passo 7

Resolução do item (c) — valor máximo de k\Phi com a corrente máxima de armadura (corrente disponível).
Mini-aula curta: a corrente máxima de armadura I_{a,\max} é limitada pela potência e tensão máximas porque, desprezando perdas, a potência elétrica máxima entregue ao motor é P_{\max}=V_{\max}\,I_{a,\max}. Assim
I_{a,\max}=\frac{P_{\max}}{V_{\max}}.
Substituindo:
I_{a,\max}=\frac{100000}{600}=166{,}666\\ \mathrm{A}\approx 166{,}667\\ \mathrm{A}.
No regime de arrancada/baixa velocidade, a potência elétrica pode ser baixa mas o torque necessário pode ser alto; o torque disponível é T=(k\Phi)I_{a}. Para garantir a aceleração a_{\max} no eixo motriz precisamos do torque motor mínimo T_{\text{motor, req}} igual ao torque demandado pela força de tração transmitida às rodas, reduzido pela razão de transmissão:
  • Força de tração requerida: F=m a_{\max}=12500\cdot 1=12500\\ \mathrm{N}.
  • Torque demandado na roda: T_{\text{rodas}}=F\cdot r=12500\cdot 0{,}5=6250\\ \mathrm{Nm}.
  • Torque no eixo do motor necessário (devido à razão g): T_{\text{motor, req}}=\dfrac{T_{\text{rodas}}}{g}=\dfrac{6250}{11{,}781}. Calculemos:
T_{\text{motor, req}}\approx 530{,}65\\ \mathrm{Nm}.
Para que esse torque seja produzido com a corrente máxima I_{a,\max}, o produto k\Phi não pode ser maior que
k\Phi_{\max}=\frac{T_{\text{motor, req}}}{I_{a,\max}}.
Substituindo números:
k\Phi_{\max}=\frac{530{,}65}{166{,}6667}\approx 3{,}184\\ \mathrm{Nm/A},
e em unidades de constante de fcem (que são numericamente iguais):
k\Phi_{\max}\approx 3{,}184\\ \mathrm{V\cdot s}.
Interpretação: se k\Phi fosse maior que esse valor, para produzir o torque requerido o motor exigiria menos corrente do que a disponível — na prática não há problema com isso — mas aqui estamos interpretando o enunciado como: qual o valor máximo de k\Phi compatível com a corrente máxima de armadura necessária para entregar o torque de tração pedido. Em muitos projetos de tração escolhe-se k\Phi entre os limites do item (b) e (c) para permitir combinar velocidade máxima e torque de arrancada com a corrente/potência disponíveis.

Passo 8

Resolução do item (d) — tensão de armadura na velocidade de 10\\ \mathrm{km/h}.
Decisões: em baixa velocidade (10 km/h = 2{,}777\\ \mathrm{m/s}) o motor precisa fornecer torque para manter aceleração a_{\max} (se estivermos acelerando). Normalmente escolhe-se o fluxo para dar torque suficiente a partir da corrente disponível; portanto vamos usar k\Phi_{\max} (fluxo máximo associado à corrente máxima) para estimar a fcem a essa velocidade — é o caso conservador quando o campo está ajustado para máxima tração. Também desprezamos queda ôhmica, logo a tensão de armadura exigida é aproximadamente a fcem: V\approx E=(k\Phi)\omega.
Cálculos: velocidade do trem v=10\\ \mathrm{km/h}=2{,}777\\ \mathrm{m/s}.
  • velocidade angular das rodas: \omega_{\text{rodas}}=\dfrac{v}{r}=\dfrac{2{,}777}{0{,}5}=5{,}5556\\ \mathrm{rad/s}.
  • velocidade angular do motor: \omega_{\text{motor}}=g\cdot\omega_{\text{rodas}}=11{,}781\cdot 5{,}5556\approx 65{,}45\\ \mathrm{rad/s}.
  • então a fcem (tensão de armadura aproximada) é
V_{\text{arm}}=E=(k\Phi_{\max})\omega_{\text{motor}}\approx 3{,}184\cdot 65{,}45\approx 208{,}5\\ \mathrm{V}.
Interpretação: com o fluxo ajustado ao valor de máximo tração k\Phi_{\max}, ao rodar a 10\\ \mathrm{km/h} o motor gera uma fcem de cerca de 208{,}5\\ \mathrm{V}; portanto a tensão aplicada à armadura será dessa ordem (desprezando quedas resistivas).

Resposta

a) v_{\text{lim}}=8{,}0\\ \mathrm{m/s}=28{,}8\\ \mathrm{km/h}
b) k\Phi_{\min}=\dfrac{600}{150\pi}\approx 1{,}273\\ \mathrm{V\cdot s}
c) k\Phi_{\max}\approx 3{,}184\\ \mathrm{V\cdot s} (usando r=0{,}5\\ \mathrm{m} e I_{a,\max}=P_{\max}/V_{\max})
d) V_{\text{arm}} a 10\\ \mathrm{km/h}\approx 208{,}5\\ \mathrm{V} (usando k\Phi_{\max} e desprezando quedas ôhmicas)

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