Um motor CC de 75 kW e 250 V ligado em derivação tem uma resistência de armadura de 45 \mathrm{m} \Omega e uma resistência de campo de 185 \Omega. Quando está operando em 250 V , a sua velocidade a vazio é 1850 rpm .
a. O motor está operando sob carga com uma tensão de terminal de 250 V e uma corrente de terminal de 290 A. Calcule (i) a velocidade do motor em rpm, (ii) a potência de carga em kW e (iii) o conjugado de carga em \mathrm{N} \cdot \mathrm{m}.
b. Assumindo que o conjugado de carga permanece constante em função da velocidade, com o valor calculado na parte (a), calcule (i) a velocidade do motor e (ii) a corrente de terminal se a tensão de terminal for reduzida a 200 V .

Passo 1

O enunciado nos dá um motor CC em derivação com os seguintes dados (vou listar tudo para não nos perder):
V=250\\ \mathrm{V} (tensão de alimentação inicial), potência nominal 75\\ \mathrm{kW} (só informação do equipamento), resistência de armadura R_a=45\\ \mathrm{m}\Omega = 0{,}045\\ \Omega, resistência de campo R_f=185\\ \Omega. A vazio, com a mesma tensão de 250\\ \mathrm{V}, a velocidade é 1850\\ \mathrm{rpm}.
Parte (a) pede, quando o motor está carregado com I_{t}=290\\ \mathrm{A} (corrente do terminal) e V=250\\ \mathrm{V}: (i) velocidade n em rpm, (ii) potência de carga em kW e (iii) conjugado (torque) de carga em \mathrm{N\cdot m}.
Parte (b) pede: mantendo o conjugado de carga constante (valor obtido na parte (a)) e reduzindo a tensão para 200\\ \mathrm{V}, calcule (i) a nova velocidade e (ii) a nova corrente de terminal.
Dados importantes extraídos do enunciado: V_1=250\\ \mathrm{V}, I_{t1}=290\\ \mathrm{A}, R_a=0{,}045\\ \Omega, R_f=185\\ \Omega, n_{0}=1850\\ \mathrm{rpm} (vazio a 250 V).
A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Primeiro, calculemos a corrente de campo (porque é derivação): a corrente de campo é a tensão dividida pela resistência de campo. Fórmula:
I_f=\frac{V}{R_f}.
Substituindo V_1=250\\ \mathrm{V} e R_f=185\\ \Omega:
I_{f1}=\frac{250}{185}=1{,}351351351\\ \mathrm{A}.
Explicação didática: a bobina de campo está ligada em paralelo com a alimentação, então sua corrente é fixada por V e R_f. Essa corrente produz o fluxo magnético \Phi do motor. Guardamos esse valor para usar no balanço de correntes e nas relações de torque/fluxo.

Passo 3

A corrente na armadura I_a é a corrente do terminal menos a corrente de campo:
I_a = I_t - I_f.
Para o caso da parte (a) temos I_{t1}=290\\ \mathrm{A} e I_{f1} calculado acima, então
I_{a1}=290-1{,}351351351=288{,}648648649\\ \mathrm{A}.
Didática: o terminal fornece corrente que se divide entre campo e armadura; a corrente útil para produzir torque é I_a.

Passo 4

A queda de tensão na armadura é \Delta V_a = I_a R_a. Assim a força contra-eletromotriz (f.c.e.m., ou back EMF) induzida E na armadura é a tensão terminal menos essa queda:
E = V - I_a R_a.
Calculamos a queda:
I_{a1}R_a=288{,}648648649\times0{,}045=12{,}989189189\\ \mathrm{V}.
Logo
E_1=250-12{,}989189189=237{,}010810811\\ \mathrm{V}.
Explicação: E é a tensão induzida proporcional à velocidade e ao fluxo: E=k\Phi\omega. Em regime permanente ela equilibra a tensão aplicada menos a queda ôhmica na armadura.

Passo 5

Agora ligamos E com a velocidade. A relação fundamental no motor CC (derivação, fluxo praticamente constante quando o campo não muda) é:
E = k\Phi \omega,
onde k é constante do motor, \Phi é fluxo por polo e \omega é velocidade angular. Se \Phi não muda (campo constante), então E é proporcional à velocidade n (rpm). Como a condição a vazio com V=250\\ \mathrm{V} tem praticamente corrente de armadura desprezível, podemos tomar E_{\text{vazio}}\approx 250\\ \mathrm{V}. Assim a razão entre velocidades é a mesma razão entre as f.c.e.m.:
\frac{n_1}{n_0}=\frac{E_1}{E_0}\approx\frac{E_1}{250}.
Substituindo n_0=1850\\ \mathrm{rpm} e E_1=237{,}010810811\\ \mathrm{V}:
n_1=1850\cdot\frac{237{,}010810811}{250}=1850\cdot0{,}948043243244=1754{,}477\\ \mathrm{rpm}.
Interpretação: a queda de E causada pela queda ôhmica na armadura reduz a velocidade quando a máquina entrega corrente. Resultado arredondado: n_1\approx1754{,}48\\ \mathrm{rpm}.

Passo 6

Calculemos agora a potência convertida do elétrico para o mecânico (potência no eixo, desconsiderando perdas mecânicas adicionais). A potência convertida pela armadura é dada por
P_{\text{mec}}=E\cdot I_a.
Aqui E_1=237{,}010810811\\ \mathrm{V} e I_{a1}=288{,}648648649\\ \mathrm{A}, então
P_{\text{mec,1}}=237{,}010810811\times288{,}648648649=68\,412{,}850\\ \mathrm{W}.
Convertendo para kW:
P_{\text{mec,1}}=68{,}412850\\ \mathrm{W}=68{,}413\\ \mathrm{kW}\\ (\text{aprox.}).
Didática: essa é a potência elétrica “convertida” em mecânica pela interação campo-corrente (também chamada de potência de desenvolvimento). A potência de eixo real seria essa menos perdas mecânicas e perdas adicionais; o enunciado pede “potência de carga”, que aqui tomamos como potência disponível para a carga, i.e., E I_a.

Passo 7

Agora o conjugado (torque) pode ser obtido dividindo a potência mecânica pela velocidade angular. Relação:
T=\frac{P_{\text{mec}}}{\omega}=\frac{P_{\text{mec}}\;60}{2\pi n},
onde n está em rpm. Substituindo P_{\text{mec,1}}=68\,412{,}850\\ \mathrm{W} e n_1=1754{,}477\\ \mathrm{rpm}:
T_1=\frac{68\,412{,}850\times60}{2\pi\times1754{,}477}=372{,}514\\ \mathrm{N\cdot m}.
Arredondando, T_1\approx372{,}51\\ \mathrm{N\cdot m}.
Explicação: também poderíamos usar a forma T=k\Phi I_a. Ambas dão o mesmo resultado; a forma usada aqui é prática quando já temos P e n.

Passo 8

Resumo dos resultados da parte (a) (valores que vamos usar depois):
  • I_{f1}=1{,}351351\\ \mathrm{A}
  • I_{a1}=288{,}648649\\ \mathrm{A}
  • E_1=237{,}010811\\ \mathrm{V}
  • n_1=1754{,}477\\ \mathrm{rpm}
  • P_{mec,1}=68{,}412{,}850\\ \mathrm{W}=68{,}413\\ \mathrm{kW}
  • T_1=372{,}514\\ \mathrm{N\cdot m}

Passo 9

Parte (b): quando a tensão é reduzida para V_2=200\\ \mathrm{V}, a corrente de campo muda. Calcule I_{f2}:
I_{f2}=\frac{V_2}{R_f}=\frac{200}{185}=1{,}081081081\\ \mathrm{A}.
Didática: o fluxo \Phi é aproximadamente proporcional a I_f (na faixa linear do enrolamento de campo), então uma queda de tensão reduz o fluxo.

Passo 10

Assumimos o conjugado de carga constante e igual a T_1. Usando a relação do torque no motor CC:
T = k\Phi I_a.
Se queremos manter T constante e \Phi mudou (porque I_f mudou), então o novo I_a ajusta-se segundo:
I_{a2}=\frac{T_1}{k\Phi_2}.
Como k\Phi é proporcional a I_f, temos k\Phi_2 = k\Phi_1\cdot\frac{I_{f2}}{I_{f1}}. Assim
I_{a2}=I_{a1}\cdot\frac{I_{f1}}{I_{f2}}.
(Isto resulta do rearranjo usando T_1=k\Phi_1 I_{a1}.) Numericamente, I_{f1}/I_{f2}=250/200=1{,}25, então
I_{a2}=288{,}648648649\times1{,}25=360{,}810810811\\ \mathrm{A}.
Explicação: reduzir a tensão do campo diminui o fluxo; para manter o mesmo torque é preciso aumentar a corrente de armadura na mesma razão inversa.

Passo 11

Com I_{a2} conhecido, a nova f.c.e.m. é
E_2=V_2-I_{a2}R_a.
Calcule a queda na armadura:
I_{a2}R_a=360{,}810810811\times0{,}045=16{,}236486486\\ \mathrm{V},
logo
E_2=200-16{,}236486486=183{,}763513514\\ \mathrm{V}.

Passo 12

Agora encontramos a nova velocidade. Partindo de E=k\Phi\omega, escrevemos para os estados 1 e 2:
\frac{\omega_2}{\omega_1}=\frac{E_2/(k\Phi_2)}{E_1/(k\Phi_1)}=\frac{E_2}{E_1}\cdot\frac{k\Phi_1}{k\Phi_2}=\frac{E_2}{E_1}\cdot\frac{I_{f1}}{I_{f2}}.
Passando para rpm:
n_2=n_1\cdot\frac{E_2}{E_1}\cdot\frac{I_{f1}}{I_{f2}}.
Substituindo n_1=1754{,}477\\ \mathrm{rpm}, E_2=183{,}763513514\\ \mathrm{V}, E_1=237{,}010810811\\ \mathrm{V} e I_{f1}/I_{f2}=1{,}25:
n_2=1754{,}477\cdot\frac{183{,}763513514}{237{,}010810811}\cdot1{,}25=1700{,}000\\ \mathrm{rpm}\\ (\text{aprox.}).
O valor veste-se muito bem para n_2\approx1700\\ \mathrm{rpm} (arredondamento consistente).

Passo 13

Finalmente, a corrente de terminal nova é a soma de I_{a2} com I_{f2}:
I_{t2}=I_{a2}+I_{f2}=360{,}810810811+1{,}081081081=361{,}891891892\\ \mathrm{A}.
Arredondando, I_{t2}\approx361{,}892\\ \mathrm{A}.

Resposta

(i) n_1=1754{,}48\\ \mathrm{rpm}
(ii) P_{\text{carga}}=68{,}413\\ \mathrm{kW}
(iii) T_1=372{,}51\\ \mathrm{N\cdot m}
(b-i) n_2=1700{,}00\\ \mathrm{rpm}
(b-ii) I_{t2}=361{,}892\\ \mathrm{A}

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