Um sistema mecânico (massa-mola-amortecedor) sujeito a excitação por uma massa desbalanceada tem sua amplitude na ressonância aferida em 10 mm . Quando a frequência de excitação está muito acima da frequência natural, a amplitude do deslocamento é medida como sendo 1 mm . Determine a razão de amortecimento do sistema.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa.
  • Dados fornecidos:
    • Amplitude na ressonância: \;X_{\mathrm{res}}=10\\ \text{mm}.
    • Amplitude quando a frequência de excitação está muito acima da natural: \;X_{\infty}=1\\ \text{mm}.
  • Pergunta:
    • Determinar a razão de amortecimento \zeta do sistema.

Passo 2

Modelagem física e variáveis (explicando cada coisa):
  • Temos um sistema massa-mola-amortecedor com massa m, rigidez k e amortecimento viscoso c.
  • Uma massa desbalanceada produz uma força harmônica de amplitude F_{0}=m_e e \omega^2, onde m_e é a massa excêntrica, e é o excentricidade e \omega é a frequência de excitação.
  • A frequência natural não amortecida é \omega_n=\sqrt{k/m}.
  • A razão de amortecimento adimensional é \zeta=\dfrac{c}{2m\omega_n}.
  • A resposta em regime permanente (amplitude de deslocamento) sob força harmônica F_0\sin(\omega t) é dada por
X(\omega)=\frac{F_0}{\sqrt{(k-m\omega^2)^2+(c\omega)^2}}.
Aqui X(\omega) é a amplitude do deslocamento para a frequência \omega.

Passo 3

Substituir F_0=m_e e \omega^2 na expressão da amplitude e escrever de forma explícita:
X(\omega)=\frac{m_e e\,\omega^2}{\sqrt{(k-m\omega^2)^2+(c\omega)^2}}.
Isto vem diretamente de dividir a amplitude da força pela magnitude da impedância dinâmica \sqrt{(k-m\omega^2)^2+(c\omega)^2}.

Passo 4

Tornar a expressão adimensional usando r=\dfrac{\omega}{\omega_n} e \omega_n^2=\dfrac{k}{m}. Também usar c=2m\zeta\omega_n. Façamos as substituições passo a passo.
Primeiro note que m/k=1/\omega_n^2. Dividindo numerador e denominador por k e reorganizando:
X(\omega)=\frac{(m_e e/k)\,\omega^2}{\sqrt{\big(1-(m/k)\omega^2\big)^2+\big((c/k)\omega\big)^2}}.
Usando m/k=1/\omega_n^2 e c/k=2\zeta/\omega_n e r=\omega/\omega_n obtemos, após simplificar:
X(\omega)=\frac{m_e e}{m}\cdot\frac{r^2}{\sqrt{(1-r^2)^2+(2\zeta r)^2}}.
Explicação: \dfrac{m_e e}{m} tem dimensão de comprimento e representa a amplitude assintótica do deslocamento quando \omega é muito grande (veremos isso em seguida). O fator adimensional \dfrac{r^2}{\sqrt{(1-r^2)^2+(2\zeta r)^2}} descreve o ganho dinâmico dependente da frequência reduzida r e do amortecimento \zeta.

Passo 5

Amplitude na ressonância ( r=1). Substituindo r=1 na expressão adimensional:
X_{\mathrm{res}}=X(r=1)=\frac{m_e e}{m}\cdot\frac{1^2}{\sqrt{(1-1)^2+(2\zeta\cdot1)^2}} =\frac{m_e e}{m}\cdot\frac{1}{2\zeta}.
Observação: na ressonância a parte real do denominador some ( 1-r^2=0) e o denominador passa a ser 2\zeta.

Passo 6

Amplitude quando a frequência é muito maior que a natural ( r\to\infty). Analisando o limite:
\lim_{r\to\infty}\frac{r^2}{\sqrt{(1-r^2)^2+(2\zeta r)^2}} =\lim_{r\to\infty}\frac{r^2}{\sqrt{r^4\big((1/r^2-1)^2+(2\zeta/r)^2\big)}} =\lim_{r\to\infty}\frac{r^2}{r^2}=1.
Portanto
X_{\infty}=\lim_{\omega\to\infty}X(\omega)=\frac{m_e e}{m}.
Isto confirma que \dfrac{m_e e}{m} é a amplitude assintótica medida em altas frequências.

Passo 7

Usar as medidas dadas para relacionar \zeta:
  • Do passo anterior temos \dfrac{m_e e}{m}=X_{\infty}=1\\ \text{mm}.
  • Do passo 5 temos X_{\mathrm{res}}=\dfrac{m_e e}{m}\cdot\dfrac{1}{2\zeta}.
Substituindo \dfrac{m_e e}{m}=1\\ \text{mm} e X_{\mathrm{res}}=10\\ \text{mm}:
10\\ \text{mm}=1\\ \text{mm}\cdot\frac{1}{2\zeta}.
Isolando \zeta:
\frac{1}{2\zeta}=10 \quad\Rightarrow\quad 2\zeta=\frac{1}{10}\quad\Rightarrow\quad \zeta=\frac{1}{20}=0,05.

Passo 8

Interpretação rápida (p/ te dar confiança): \zeta=0,05 significa amortecimento de 5\% da razão crítica. Esse valor é típico de sistemas levemente amortecidos — faz sentido físico: na ressonância a amplitude é 10 vezes a amplitude em altas frequências.

Resposta

\zeta = 0,05

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