Um sistema mecânico (massa-mola-amortecedor) sujeito a excitação por uma massa desbalanceada tem sua amplitude na ressonância aferida em 10 mm . Quando a frequência de excitação está muito acima da frequência natural, a amplitude do deslocamento é medida como sendo 1 mm . Determine a razão de amortecimento do sistema.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa.
- Dados fornecidos:
- Amplitude na ressonância:
. - Amplitude quando a frequência de excitação está muito acima da natural:
.
- Amplitude na ressonância:
- Pergunta:
- Determinar a razão de amortecimento
do sistema.
- Determinar a razão de amortecimento
Passo 2
Modelagem física e variáveis (explicando cada coisa):
- Temos um sistema massa-mola-amortecedor com massa
, rigidez e amortecimento viscoso . - Uma massa desbalanceada produz uma força harmônica de amplitude
, onde é a massa excêntrica, é o excentricidade e é a frequência de excitação. - A frequência natural não amortecida é
. - A razão de amortecimento adimensional é
. - A resposta em regime permanente (amplitude de deslocamento) sob força harmônica
é dada por
Aqui
é a amplitude do deslocamento para a frequência
.
Passo 3
Substituir
na expressão da amplitude e escrever de forma explícita:
Isto vem diretamente de dividir a amplitude da força pela magnitude da impedância dinâmica
.
Passo 4
Tornar a expressão adimensional usando
e
. Também usar
. Façamos as substituições passo a passo.
Primeiro note que
. Dividindo numerador e denominador por
e reorganizando:
Usando
e
e
obtemos, após simplificar:
Explicação:
tem dimensão de comprimento e representa a amplitude assintótica do deslocamento quando
é muito grande (veremos isso em seguida). O fator adimensional
descreve o ganho dinâmico dependente da frequência reduzida
e do amortecimento
.
Passo 5
Amplitude na ressonância (
). Substituindo
na expressão adimensional:
Observação: na ressonância a parte real do denominador some (
) e o denominador passa a ser
.
Passo 6
Amplitude quando a frequência é muito maior que a natural (
). Analisando o limite:
Portanto
Isto confirma que
é a amplitude assintótica medida em altas frequências.
Passo 7
Usar as medidas dadas para relacionar
:
- Do passo anterior temos
. - Do passo 5 temos
.
Substituindo
e
:
Isolando
:
Passo 8
Interpretação rápida (p/ te dar confiança):
significa amortecimento de
da razão crítica. Esse valor é típico de sistemas levemente amortecidos — faz sentido físico: na ressonância a amplitude é 10 vezes a amplitude em altas frequências.