Questão 20 - A partir da Equação horario da posição deduza por meio de condições de contorno a equação de Torricelli.

Passo 1

Enunciado pedido: a partir da equação horária da posição, deduzir — por meio de condições de contorno — a equação de Torricelli.
Informações relevantes dadas (ou que assumimos porque são padrão neste problema):
  • A aceleração é constante (essa é a condição que permite usar as equações abaixo).
  • Temos posição inicial, velocidade inicial e aceleração constantes.
  • Precisamos eliminar o tempo das equações para obter uma relação entre velocidade e posição (isso é a equação de Torricelli).

Passo 2

Definição das variáveis e explicação do que cada símbolo significa (vai ajudar na prova):
  • \displaystyle s é a posição do objeto no instante t.
  • \displaystyle s_0 é a posição inicial (no instante t=0).
  • \displaystyle v é a velocidade no instante t.
  • \displaystyle v_0 é a velocidade inicial (no instante t=0).
  • \displaystyle a é a aceleração (constante).
  • \displaystyle t é o tempo.
    Sempre que eu escrever essas letras, é exatamente isso que elas representam. Importante: a fórmula só vale para aceleração constante; se a=0 o procedimento de dividir por a precisa de cuidado (veremos).

Passo 3

Escrevemos as equações horárias básicas para movimento retilíneo com aceleração constante (essas são as informações de partida que o enunciado pediu para usar):
s = s_0 + v_0 t + \tfrac{1}{2} a t^2
v = v_0 + a t
A primeira é a equação da posição em função do tempo; a segunda é a equação da velocidade em função do tempo. Nosso objetivo: eliminar t entre essas duas e obter uma relação direta entre v e s.

Passo 4

Isolamos t na equação da velocidade (essa é a “condição de contorno” citada: conhecer v em algum instante e relacionar com v_0 e a):
t = \frac{v - v_0}{a}
Observação didática: isto exige a\neq 0. Se a=0 a velocidade é constante e a equação de Torricelli degenera para v=v_0 e s-s_0 = v_0 t (caso trivial).

Passo 5

Substituímos o valor de t obtido no passo anterior na equação da posição. Ou seja, na expressão
s = s_0 + v_0 t + \tfrac{1}{2} a t^2
façamos t=\dfrac{v-v_0}{a}. Isso dá:
s = s_0 + v_0\left(\frac{v - v_0}{a}\right) + \tfrac{1}{2} a \left(\frac{v - v_0}{a}\right)^{2}

Passo 6

Agora vamos simplificar passo a passo a expressão do passo anterior. Primeiro escrevemos a diferença s - s_0:
s - s_0 = v_0\left(\frac{v - v_0}{a}\right) + \tfrac{1}{2} a \left(\frac{(v - v_0)^{2}}{a^{2}}\right)
Fatorando os denominadores:
s - s_0 = \frac{v_0 (v - v_0)}{a} + \frac{1}{2}\cdot\frac{(v - v_0)^{2}}{a}
Agora colocamos tudo sobre o mesmo denominador 2a:
s - s_0 = \frac{2 v_0 (v - v_0) + (v - v_0)^{2}}{2a}

Passo 7

Expandimos o numerador e simplificamos cuidadosamente (faça essas contas na prova sem calculadora, passo a passo):
Expandindo (v - v_0)^{2} v^{2} - 2 v v_0 + v_0^{2}. Então o numerador fica:
2 v_0 (v - v_0) + (v - v_0)^{2} = 2 v_0 v - 2 v_0^{2} + v^{2} - 2 v v_0 + v_0^{2}
Agrupando termos semelhantes:
2 v_0 v - 2 v_0^{2} + v^{2} - 2 v v_0 + v_0^{2} = v^{2} - v_0^{2}
Portanto:
s - s_0 = \frac{v^{2} - v_0^{2}}{2a}

Passo 8

Multiplicando ambos os lados por 2a (novamente cuidado: isso exige a\neq 0), chegamos à forma final conhecida como equação de Torricelli:
v^{2} = v_0^{2} + 2 a (s - s_0)
Interpretação prática: essa equação relaciona a variação de energia cinética (proporcional a v^{2}-v_0^{2}) com a aceleração e o deslocamento, sem precisar saber o tempo.

Passo 9

Dicas de prova e uso prático (bem úteis quando o tempo for curto):
  • Use a equação de Torricelli quando o tempo t não aparece nas informações e você precisa relacionar velocidade e posição.
  • Sempre verifique o sinal da aceleração: se a aceleração aponta no sentido oposto ao deslocamento, a pode ser negativo e isso afeta v^{2}.
  • Lembre-se de que a derivação pressupõe aceleração constante; se não for constante, não use essa equação.
    Exemplo rápido (para conferir): suponha v_0=10, a=-2 e s-s_0=20. Então a equação dá
v^{2}=10^{2}+2(-2)(20)=100-80=20,
logo v=\sqrt{20} (ou -\sqrt{20} se o sentido da velocidade for o oposto); esse tipo de verificação rápida ajuda a pegar erros de sinal.

Resposta

v^{2}=v_0^{2}+2a\,(s-s_0)

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