Questão 20 - A partir da Equação horario da posição deduza por meio de condições de contorno a equação de Torricelli.
Passo 1
Enunciado pedido: a partir da equação horária da posição, deduzir — por meio de condições de contorno — a equação de Torricelli.
Informações relevantes dadas (ou que assumimos porque são padrão neste problema):
Informações relevantes dadas (ou que assumimos porque são padrão neste problema):
- A aceleração é constante (essa é a condição que permite usar as equações abaixo).
- Temos posição inicial, velocidade inicial e aceleração constantes.
- Precisamos eliminar o tempo das equações para obter uma relação entre velocidade e posição (isso é a equação de Torricelli).
Passo 2
Definição das variáveis e explicação do que cada símbolo significa (vai ajudar na prova):
-
é a posição do objeto no instante . -
é a posição inicial (no instante ). -
é a velocidade no instante . -
é a velocidade inicial (no instante ). -
é a aceleração (constante). -
é o tempo.
Sempre que eu escrever essas letras, é exatamente isso que elas representam. Importante: a fórmula só vale para aceleração constante; seo procedimento de dividir por precisa de cuidado (veremos).
Passo 3
Escrevemos as equações horárias básicas para movimento retilíneo com aceleração constante (essas são as informações de partida que o enunciado pediu para usar):
A primeira é a equação da posição em função do tempo; a segunda é a equação da velocidade em função do tempo. Nosso objetivo: eliminar
entre essas duas e obter uma relação direta entre
e
.
Passo 4
Isolamos
na equação da velocidade (essa é a “condição de contorno” citada: conhecer
em algum instante e relacionar com
e
):
Observação didática: isto exige
. Se
a velocidade é constante e a equação de Torricelli degenera para
e
(caso trivial).
Passo 5
Substituímos o valor de
obtido no passo anterior na equação da posição. Ou seja, na expressão
façamos
. Isso dá:
Passo 6
Agora vamos simplificar passo a passo a expressão do passo anterior. Primeiro escrevemos a diferença
:
Fatorando os denominadores:
Agora colocamos tudo sobre o mesmo denominador
:
Passo 7
Expandimos o numerador e simplificamos cuidadosamente (faça essas contas na prova sem calculadora, passo a passo):
Expandindo dá
. Então o numerador fica:
Expandindo
Agrupando termos semelhantes:
Portanto:
Passo 8
Multiplicando ambos os lados por
(novamente cuidado: isso exige
), chegamos à forma final conhecida como equação de Torricelli:
Interpretação prática: essa equação relaciona a variação de energia cinética (proporcional a
) com a aceleração e o deslocamento, sem precisar saber o tempo.
Passo 9
Dicas de prova e uso prático (bem úteis quando o tempo for curto):
- Use a equação de Torricelli quando o tempo
não aparece nas informações e você precisa relacionar velocidade e posição. - Sempre verifique o sinal da aceleração: se a aceleração aponta no sentido oposto ao deslocamento,
pode ser negativo e isso afeta . - Lembre-se de que a derivação pressupõe aceleração constante; se não for constante, não use essa equação.
Exemplo rápido (para conferir): suponha, e . Então a equação dá
logo
(ou
se o sentido da velocidade for o oposto); esse tipo de verificação rápida ajuda a pegar erros de sinal.