Ex 8 Um motor de 5 HP , com fator de potência 0.6 e cuja eficiência é de 92 \%, está conectado a uma fonte de 208 \mathrm{~V}_{\text {ef }} / 60 \mathrm{~Hz}.
a) Esboce o triângulo de potências da carga.
b) Determine o valor do capacitor que deve ser ligado em paralelo com a carga de modo a aumentar o fator de potência para o valor unitário.
c) Determine a variação percentual da corrente fornecida pela fonte ao circuito compensado (depois da correção do fator de potência) em relação ao circuito não-compensado (antes da correção do fator de potência).
d) Determine a impedância equivalente da carga nas duas situações.
Resp. a) S=6.757 \mathrm{kVA}, P=4.054 \mathrm{~kW}, Q=5.405 \mathrm{kVAR}, \varphi=53.1^{\circ} (atrasado).
b) C=331.4 \mu \mathrm{~F}.
c) I=32.49 \mathrm{~A}_{\text {ef }} (antes da correção); I=19.49 \mathrm{~A}_{\text {ef }} (depois da correção). Redução de 40 \%.
d) \boldsymbol{Z}_{e q}=3.84+j 5.12 \Omega (antes da correção); \boldsymbol{Z}_{e q}=10.67 \Omega (depois da correção).

Passo 1

O enunciado dá um motor com as seguintes informações (vou listar tudo bem certinho para a gente se orientar):
\text{Potência do motor (mecânica)} = 5\\ \text{HP}êâ
\text{Fator de potência (antes da correção)} = 0,6êçã
\text{Rendimento (eficiência)} = 92\% = 0,92ê
\text{Tensão da fonte} = 208\\ \mathrm{V_{ef}} \quad \text{e} \quad f=60\\ \mathrm{Hz}ã
O que o enunciado pede:

a) Esboçar o triângulo de potências da carga (ou seja: S, P, Q e ângulo \varphi).
b) Determinar o valor do capacitor em paralelo para levar o fator de potência a 1.
c) Determinar a variação percentual da corrente fornecida pela fonte depois da correção em relação a antes da correção.
d) Determinar a impedância equivalente da carga antes e depois da correção.

Passo 2

Converter a potência do motor de HP para watts e obter a potência elétrica de entrada (ativa) usando o rendimento.

Fórmula de conversão: 1\\ \mathrm{HP} = 746\\ \mathrm{W}. Então a potência mecânica de saída do motor é
\text{Potência de saída} = 5 \times 746 = 3730\\ \mathrm{W}.êí
Como o motor tem rendimento \eta=0,92, a potência ativa elétrica absorvida pela carga (potência de entrada) é
P = \frac{\text{Potência de saída}}{\eta} = \frac{3730}{0,92}.êí
Calculando:
P = \frac{3730}{0,92} = 4054{,}347826\\ \mathrm{W}\approx 4,054\\ \mathrm{kW}.
Explicação didática: como nem toda potência elétrica vira trabalho (há perdas), dividimos pela eficiência para saber quanta potência elétrica é consumida.

Passo 3

Determinar a potência aparente (S) usando o fator de potência.

Definição importante: o fator de potência é \mathrm{pf}=\cos\varphi = \dfrac{P}{S}. Portanto
S = \frac{P}{\mathrm{pf}} = \frac{4054{,}347826}{0,6}.
Calculando:
S = 6757{,}246378\\ \mathrm{VA}\approx 6,757\\ \mathrm{kVA}.
Didática: S é o “comprimento da hipotenusa” do triângulo de potências; ele combina a potência real P e a reativa Q.

Passo 4

Determinar a potência reativa Q e o ângulo \varphi.

Podemos obter \varphi de \cos\varphi=0,6. Então
\varphi = \operatorname{arccos}(0,6) \approx 53{,}130102^\circ \approx 53{,}1^\circ.
Também sabemos que \sin\varphi = \sqrt{1-\cos^2\varphi} = \sqrt{1-0,36} = 0,8, e \tan\varphi = \dfrac{\sin\varphi}{\cos\varphi} = \dfrac{0,8}{0,6} = \tfrac{4}{3}\approx 1{,}3333.
A potência reativa (para carga indutiva, é positiva e “atrasada”) pode ser obtida por
Q = P\tan\varphi = 4054{,}347826 \times 1{,}3333333.
Calculando:
Q \approx 5405{,}797101\\ \mathrm{VAR}\approx 5,405\\ \mathrm{kVAR}.
Didática: Q representa a energia que oscila entre fonte e campo magnético (não realiza trabalho útil), por isso o capacitor vai “fornecer” essa Q com sinal oposto.

Passo 5

Esboço do triângulo de potências (descrição em palavras e numérica).
  • Eixo horizontal: P=4054{,}347826\\ \mathrm{W} (potência ativa).
  • Eixo vertical (para cima, carga indutiva): Q=5405{,}797101\\ \mathrm{VAR} (potência reativa).
  • Hipotenusa: S=6757{,}246378\\ \mathrm{VA} (potência aparente).
  • Ângulo entre P e S: \varphi=53{,}130102^\circ (atrasado).
Esse é o triângulo pedido em (a): P em x, Q em y, S hipotenusa e \varphi no vértice junto à P.

Passo 6

Calcular a corrente fornecida pela fonte antes da correção.

Relação básica: |S| = V_{\text{ef}} \cdot I_{\text{ef}}. Logo a corrente eficaz é
I_{\text{antes}} = \frac{S}{V} = \frac{6757{,}246378}{208}.
Calculando:
I_{\text{antes}} \approx 32{,}4875\\ \mathrm{A}\approx 32{,}49\\ \mathrm{A}.

Passo 7

Encontrar a potência reativa que o capacitor deve fornecer e a fórmula que relaciona Q_C com C.

Para corrigir o fator de potência para 1 precisamos cancelar toda a potência reativa indutiva da carga. Então
Q_C = Q = 5405{,}797101\\ \mathrm{VAR}.
Para um capacitor ligado em paralelo, a potência reativa fornecida (módulo) é dada por
Q_C = V^2 \omega C,
onde V é a tensão eficaz, \omega = 2\pi f é a pulsação e C é a capacitância. Explicação: a reatância capacitiva é X_C=\dfrac{1}{\omega C}; a potência reativa fornecida por um capacitor em tensão fixa é Q_C = \dfrac{V^2}{|X_C|} = V^2 \omega C.

Passo 8

Calcular C substituindo \omega=2\pi f com f=60\\ \mathrm{Hz}.

Primeiro \omega = 2\pi \cdot 60 = 120\pi\\ \mathrm{rad/s}.
Resolvendo para C:
C = \frac{Q_C}{V^2 \omega} = \frac{5405{,}797101}{208^2 \cdot 120\pi}.
Calculemos numericamente:
208^2 = 43264,\qquad \omega = 120\pi \approx 376{,}991118\\ \mathrm{rad/s}.
C \approx \frac{5405{,}797101}{43264 \times 376{,}991118} \approx 0{,}00033144\\ \mathrm{F} = 331{,}44\\ \mu\mathrm{F}.
Arredondando conforme resposta esperada: C\approx 331{,}4\\ \mu\mathrm{F}.

Passo 9

Calcular a corrente após a correção do fator de potência.

Quando o fator de potência é corrigido para 1, a potência aparente passa a ser igual à ativa: S_{\text{novo}}=P. Então a corrente nova é
I_{\text{depois}} = \frac{P}{V} = \frac{4054{,}347826}{208}.
Calculando:
I_{\text{depois}} \approx 19{,}4945\\ \mathrm{A}\approx 19{,}49\\ \mathrm{A}.

Passo 10

Determinar a variação percentual da corrente (redução).

A redução percentual é
\%\text{redução} = \frac{I_{\text{antes}} - I_{\text{depois}}}{I_{\text{antes}}}\times 100\%.çã
Substituindo:
\%\text{redução} = \frac{32{,}4875 - 19{,}4945}{32{,}4875}\times 100\% \approx 40\%.çã
Ou seja, a corrente diminui cerca de 40\%.

Passo 11

Determinar a impedância equivalente da carga antes da correção.

Relação entre potências e corrente/fase: a potência complexa da carga é
\underline{S} = P + jQ = V I^*.
Isolando a corrente complexa:
I = \frac{\underline{S}^*}{V} = \frac{P - jQ}{V}.
A impedância equivalente Z_{eq} é Z_{eq} = \dfrac{V}{I}. Substituindo I obtemos
Z_{eq} = \frac{V^2}{P - jQ}.
Para nossos números:
Z_{eq} = \frac{208^2}{4054{,}347826 - j\,5405{,}797101}.
Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado:
Z_{eq} = \frac{43264(4054{,}347826 + j\,5405{,}797101)}{4054{,}347826^2 + 5405{,}797101^2}.
Fazendo as contas (mostradas no raciocínio anterior) chega-se a
Z_{eq} \approx 3{,}84 + j\,5{,}12\\ \Omega.
Interpretação: resistência R\approx 3{,}84\\ \Omega e reatância indutiva X_L\approx 5{,}12\\ \Omega.

Passo 12

Determinar a impedância equivalente depois da correção (fator de potência unitário).

Depois da correção Q_{\text{novo}}=0, então a impedância é puramente resistiva:
Z_{eq,\text{corrigido}} = \frac{V^2}{P} = \frac{43264}{4054{,}347826}.
Calculando:
Z_{eq,\text{corrigido}} \approx 10{,}669\\ \Omega \approx 10{,}67\\ \Omega.
Isso faz sentido: com Q=0, a carga se comporta como uma resistência que consome somente potência ativa.

Resposta

a) S=6{,}757\\ \mathrm{kVA},\; P=4{,}054\\ \mathrm{kW},\; Q=5{,}405\\ \mathrm{kVAR},\; \varphi=53{,}1^\circ (atrasado).
b) C=331{,}4\\ \mu\mathrm{F}.
c) I_{\text{antes}}=32{,}49\\ \mathrm{A_{ef}};\; I_{\text{depois}}=19{,}49\\ \mathrm{A_{ef}}. Redução de 40\%.
d) \boldsymbol{Z}_{eq}=3{,}84 + j\,5{,}12\\ \Omega (antes da correção); \boldsymbol{Z}_{eq}=10{,}67\\ \Omega (depois da correção).

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