Ex 10 Uma pequena usina geradora industrial alimenta 10 kW de aquecedores e 20 kVA de motores elétricos. Os dispositivos de aquecimento são considerados puramente resistivos e os motores possuem fator de potência atrasado igual a 0,7 . Sendo a fonte de 1000 \mathrm{~V}_{\text {ef }} / 60 \mathrm{~Hz}. Determine:
a) determine a capacitância necessária para aumentar o fator de potência para 0.95 (atrasado)
b) compare os valores da corrente exigida da fonte antes e depois da compensação.
Resp. a) C=16.95 \mu \mathrm{~F}.
b) I=27.97 \mathrm{~A}_{\text {ef }} (antes da correção); I=25.26 \mathrm{~A}_{\text {ef }} (depois da correção). Redução de 9.6 \%.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede duas coisas:
Dados:
  • Aquecedores (puramente resistivos): potência ativa P_{\text{aq}} = 10\\ \mathrm{kW}.
  • Motores: potência aparente S_{\text{m}} = 20\\ \mathrm{kVA}, fator de potência atrasado \mathrm{pf}_{\text{m}} = 0{,}7 (atrasado).
  • Tensão da fonte: V = 1000\\ \mathrm{V}_{\text{ef}}.
  • Frequência: f = 60\\ \mathrm{Hz}.
Perguntas:
a) Determinar a capacitância C necessária para elevar o fator de potência total para 0{,}95 (ainda atrasado).
b) Comparar as correntes exigidas da fonte antes e depois da correção (ou seja, calcular I_{\text{antes}} e I_{\text{depois}} e a redução percentual).

Passo 2

Primeiro vamos calcular as potências ativas e reativas fornecidas pelos elementos antes da correção.
A potência ativa do motor é a parte real de S_{\text{m}}:
P_{\text{m}} = S_{\text{m}}\cdot \mathrm{pf}_{\text{m}}.
Substituindo:
P_{\text{m}} = 20\\ \mathrm{kVA}\times 0{,}7 = 14\\ \mathrm{kW}.
A potência ativa total é a soma das potências ativas (aquecedores + motores):
P_{\text{tot}} = P_{\text{aq}} + P_{\text{m}} = 10 + 14 = 24\\ \mathrm{kW}.
Aqui deixei claro: P é potência ativa em kW, S é potência aparente em kVA, e \mathrm{pf}=\cos\varphi é o cosseno do ângulo de fase \varphi entre tensão e corrente.

Passo 3

Calcular a reativa inicial (vinda dos motores). A relação entre S, P e Q é:
S = \sqrt{P^2 + Q^2},\qquad \text{e}\qquad \mathrm{pf}=\cos\varphi=\frac{P}{S}.
Daí \sin\varphi=\sqrt{1-\mathrm{pf}^2} e Q = S\sin\varphi. Para o motor:
\sin\varphi_{\text{m}} = \sqrt{1-0{,}7^2} = \sqrt{1-0{,}49}=\sqrt{0{,}51}.
Portanto a reativa do motor é
Q_{\text{m}} = S_{\text{m}}\sin\varphi_{\text{m}} = 20\\ \mathrm{kVA}\times \sqrt{0{,}51}.
Uma observação prática: como \sin^2\varphi=0{,}51, temos Q_{\text{m}}^2 = S_{\text{m}}^2\cdot 0{,}51 = 400\cdot 0{,}51 = 204 ( \mathrm{kVAr}^2), logo
Q_{\text{m}} = \sqrt{204}\\ \mathrm{kVAr} \approx 14{,}2835\\ \mathrm{kVAr}.
Os aquecedores não consomem reativo (são resistivos), então:
Q_{\text{inicial}} = Q_{\text{m}} \approx 14{,}2835\\ \mathrm{kVAr}.

Passo 4

Agora vamos calcular a reativa total desejada quando o fator de potência total for 0{,}95. Seja \varphi_f o ângulo final tal que \cos\varphi_f=0{,}95. Então
\tan\varphi_f = \frac{\sin\varphi_f}{\cos\varphi_f} = \frac{\sqrt{1-0{,}95^2}}{0{,}95}.
A reativa total que corresponde ao novo fator de potência (mantendo a mesma potência ativa total P_{\text{tot}}) é
Q_{\text{final}} = P_{\text{tot}}\tan\varphi_f.
Calculemos numericamente:
\sqrt{1-0{,}95^2}=\sqrt{1-0{,}9025}=\sqrt{0{,}0975}\approx 0{,}312249,
\tan\varphi_f \approx \frac{0{,}312249}{0{,}95}\approx 0{,}328684,
Q_{\text{final}} = 24\\ \mathrm{kW}\times 0{,}328684 \approx 7{,}8884\\ \mathrm{kVAr}.
Interpretação: antes tínhamos Q_{\text{inicial}}\approx 14{,}2835\\ \mathrm{kVAr} (indutiva). Queremos reduzir para Q_{\text{final}}\approx 7{,}8884\\ \mathrm{kVAr} (ainda indutiva), portanto o capacitor deve suprir a diferença.

Passo 5

A reativa que o banco de capacitores deve fornecer é a diferença entre a reativa inicial e a reativa final desejada:
Q_C = Q_{\text{inicial}} - Q_{\text{final}}.
Substituindo os números:
Q_C \approx 14{,}2835 - 7{,}8884 = 6{,}3951\\ \mathrm{kVAr} = 6395{,}1\\ \mathrm{VAr}.
Observação física: Q_C é o valor da potência reativa fornecida pelo capacitor (com sinal “positiva” aqui representando a quantidade de VAr que o capacitor precisa suprir para reduzir a reativa indutiva).

Passo 6

Transformar essa reativa fornecida em capacitância. A fórmula que liga a capacitância C com a potência reativa fornecida por um capacitor em tensão eficaz V e frequência angular \omega é
Q_C = V^2\omega C,
onde \omega = 2\pi f. Explicando: a corrente do capacitor em regime senoidal é I_C = \omega C\,V; a potência reativa associada (magnitude) é Q_C = V\cdot I_C = V(\omega C V) = \omega C V^2.
Isolando C:
C = \frac{Q_C}{V^2\omega}.
Agora os valores (usar unidades SI: Q_C em VAr, V em V, \omega em rad/s):
\omega = 2\pi f = 2\pi\cdot 60 = 120\pi \approx 376{,}9911\\ \mathrm{rad/s},
V^2 = (1000\\ \mathrm{V})^2 = 10^6\\ \mathrm{V}^2,
C = \frac{6395{,}1}{10^6\times 376{,}9911}\\ \mathrm{F}.
Fazendo a conta:
C \approx 1{,}6958\times 10^{-5}\\ \mathrm{F} = 16{,}958\\ \mu\mathrm{F}.
Arredondando de forma prática:
C \approx 16{,}95\\ \mu\mathrm{F}.

Passo 7

Agora calculamos as correntes da fonte antes da correção. A potência aparente total antes da correção é
S_{\text{antes}} = \sqrt{P_{\text{tot}}^2 + Q_{\text{inicial}}^2}.
Como vimos, P_{\text{tot}}=24\\ \mathrm{kW} e Q_{\text{inicial}}^2 = 204\\ \mathrm{(kVAr)^2}, portanto
S_{\text{antes}} = \sqrt{24^2 + 14{,}2835^2}\\ \mathrm{kVA} = \sqrt{576 + 204}\\ \mathrm{kVA} = \sqrt{780}\\ \mathrm{kVA}.
S_{\text{antes}} \approx 27{,}9285\\ \mathrm{kVA}.
A corrente eficaz da fonte é I = S/V (quando S em kVA e V em kV, ou em unidades base). Como V=1000\\ \mathrm{V}=1\\ \mathrm{kV},
I_{\text{antes}} = \frac{S_{\text{antes}}}{V_{\text{(kV)}}} \approx \frac{27{,}9285\\ \mathrm{kVA}}{1\\ \mathrm{kV}} = 27{,}9285\\ \mathrm{A}.
Arredondando:
I_{\text{antes}} \approx 27{,}97\\ \mathrm{A}_{\text{ef}}.

Passo 8

Corrente depois da correção: com fator de potência 0{,}95 sabemos que a potência aparente nova é simplesmente
S_{\text{depois}} = \frac{P_{\text{tot}}}{\cos\varphi_f} = \frac{P_{\text{tot}}}{0{,}95}.
Logo
S_{\text{depois}} = \frac{24\\ \mathrm{kW}}{0{,}95} \approx 25{,}2632\\ \mathrm{kVA}.
A corrente correspondente (novamente com V=1\\ \mathrm{kV}) é
I_{\text{depois}} = \frac{S_{\text{depois}}}{1\\ \mathrm{kV}} \approx 25{,}2632\\ \mathrm{A}.
Arredondando:
I_{\text{depois}} \approx 25{,}26\\ \mathrm{A}_{\text{ef}}.

Passo 9

Cálculo da redução percentual da corrente:
\text{Redução} = \frac{I_{\text{antes}}-I_{\text{depois}}}{I_{\text{antes}}}\times 100\%.çã
Substituindo:
\text{Redução} \approx \frac{27{,}9285-25{,}2632}{27{,}9285}\times 100\% \approx 9{,}55\%\\ \approx 9{,}6\%.çã
Interpretação prática: com a correção de fator de potência, a corrente exigida da fonte diminui cerca de 9{,}6\%, reduzindo perdas, aquecimento e exigência de capacidade do condutor/gerador.

Passo 10

Resumo final do procedimento (para usar na prova):
  • Calcule P_{\text{tot}} somando potências ativas.
  • Calcule Q_{\text{inicial}} a partir de S e \mathrm{pf} do equipamento indutivo: Q=S\sqrt{1-\mathrm{pf}^2}.
  • Calcule Q_{\text{final}} = P_{\text{tot}}\tan\varphi_f com \cos\varphi_f igual ao fator de potência desejado.
  • O capacitor deve fornecer Q_C = Q_{\text{inicial}}-Q_{\text{final}}.
  • Relacione Q_C com C por Q_C = V^2\omega C e isole C.
  • Para as correntes use S=\sqrt{P^2+Q^2} e I=S/V (ou S=P/\cos\varphi).
Força aí — dá pra resolver esse tipo de questão com passo a passo e sem pânico!

Resposta

a) C=16{,}95\\ \mu\mathrm{F}.
b) I_{\text{antes}}=27{,}97\\ \mathrm{A}_{\text{ef}}. \
I_{\text{depois}}=25{,}26\\ \mathrm{A}_{\text{ef}}. Redução de 9{,}6\%.

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