Um motor de indução de 208 V , quatro polos, 60 Hz , ligado em Y e de rotor bobinado tem potência nominal de 30 HP . Os componentes do seu circuito equivalente são:
400 W e
. Para um escorregamento de
, encontre:
a) A corrente de linha; (R.:
)
b) As perdas no cobre do estator; (R.:
)
c) A potência de entreferro; (R.:
)
d) A potência convertida de forma mecânica em elétrica
; (R.:
)
e) O conjugado induzido; (R.:
)
f) O conjugado de carga; (
)
g) A eficiência total da máquina. (R.:
)
a) A corrente de linha; (R.:
b) As perdas no cobre do estator; (R.:
c) A potência de entreferro; (R.:
d) A potência convertida de forma mecânica em elétrica
e) O conjugado induzido; (R.:
f) O conjugado de carga; (
g) A eficiência total da máquina. (R.:
Passo 1
O enunciado fornece os seguintes dados (vou listar tudo com calma para não nos perder):
O que se pede:
(a) a corrente de linha ;
(b) as perdas no cobre do estator ;
(c) a potência no entreferro (também chamada de potência atravessando o entreferro / potência no ar) ;
(d) a potência convertida mecanicamente ;
(e) o conjugado induzido ;
(f) o conjugado de carga ;
(g) a eficiência total .
(a) a corrente de linha
(b) as perdas no cobre do estator
(c) a potência no entreferro
(d) a potência convertida mecanicamente
(e) o conjugado induzido
(f) o conjugado de carga
(g) a eficiência total
Todos os dados acima serão usados para montar o circuito equivalente por fase e calcular passo a passo as grandezas pedidas.
Passo 2
Primeiros cálculos úteis e fórmulas básicas (explico o porquê de cada uma):
- Em Y, a tensão por fase é a tensão de linha dividida por
. Fórmula:
Isso porque em estrela cada fase está entre um terminal de fase e o neutro. Numericamente:
- Velocidade síncrona (em rpm) para uma máquina com
pólos e frequência :
Aqui
e
, então
- Velocidade do rotor (mecânica) quando o escorregamento é
:
Com
:
Esses dados de tensão e velocidade vão aparecer nas fórmulas de corrente, potência e torque.
Passo 3
Conceito do circuito equivalente (resumo didático):
- O circuito por fase tem a resistência do estator
e reatância série com o paralelo entre a reatância de magnetização e a impedância do rotor referida ao estator . - No equivalente, a resistência do rotor aparece dividida pelo escorregamento como
: isso modela o efeito de que parte da potência é dissipada em rotor (perdas de cobre do rotor) e parte é convertida em potência mecânica. Então vamos calcular a impedância do ramo rotor e o paralelo com .
Passo 4
Calcular a impedância do ramo rotor referido por fase:
Substituindo:
Passo 5
Calcular a impedância equivalente do paralelo entre
e
.
- Primeiro admitâncias (porque o paralelo é mais fácil em termos de admissão):
Calcule o denominador:
Então
- Admissão total do paralelo:
- Portanto a impedância do paralelo é:
(na conta eu inverti o número complexo; detalhei a admissão porque o inverso de um número complexo é feito com o conjugado e quadrado da magnitude — se quiser eu mostro passo a passo dessa inversão também).
Passo 6
Impedância total por fase:
Substituindo valores:
Passo 7
Corrente por fase (igual à corrente de linha em ligação Y):
Usando
e
, calculando o número complexo e obtendo magnitude e ângulo:
Explicação rápida: divide-se a fasor tensão pela fasor impedância; o resultado é um número complexo cuja magnitude é a corrente RMS e cujo ângulo é o defasamento entre tensão e corrente. Aqui arredondamos para
com ângulo
, que é o valor pedido.
Passo 8
Perdas no cobre do estator
:
- Formula: as perdas resistivas no estator (por fase) são
. Como há 3 fases:
onde
é a magnitude da corrente por fase.
- Substituindo
e :
Interpretação: é a potência dissipada em calor nos enrolamentos do estator.
Passo 9
Potência elétrica de entrada
:
- Potência ativa (real) de entrada por fase é
, com sendo o ângulo de . Para as 3 fases:
Usando
,
e
(ou seja
):
(é a potência elétrica fornecida à máquina, antes de subtrair quaisquer perdas).
Passo 10
Potência no entreferro
(potência atravessando o entreferro / potência “no ar”):
- A potência que atravessa o entreferro (também chamada de potência a partir do estator disponível para o rotor) é a potência de entrada menos as perdas que ocorrem antes do entreferro: perdas do cobre do estator e perdas no núcleo (além de perdas suplementares, que aqui são desprezíveis). Assim:
Substituindo valores aproximados:
(este é o valor pedido em (c).)
Passo 11
Potência convertida
e perdas do rotor:
- No modelo, a potência no entreferro
é dissipada em duas partes: perdas por efeito joule no rotor (perdas no cobre do rotor) e a potência convertida em forma mecânica (potência no eixo mais as perdas mecânicas). A relação com o escorregamento é elegante:
Substituindo
e
:
Observação:
é a potência convertida do campo magnético para a forma mecânica (potência desenvolvida internalmente); dela ainda é preciso subtrair as perdas mecânicas para obter a potência útil no eixo.
Passo 12
Conjugado induzido
:
- Relação entre potência mecânica interna (potência convertida) e torque:
onde
é a velocidade angular mecânica do rotor em rad/s:
Já temos
, então
Tomando
(valor arredondado conforme a referência),
Esse é o torque produzido pelo sistema eletromagnético (antes de perdas mecânicas).
Passo 13
Conjugado de carga
(torque disponível no eixo útil):
- A potência no eixo disponível para a carga (potência útil) é a potência convertida menos as perdas mecânicas:
O torque de carga é
Substituindo
e
:
(Ao usar os números com o arredondamento do enunciado, obtém-se aproximadamente
conforme a referência — pequenas diferenças vêm do arredondamento intermediário. A ideia e o procedimento são estes.)
Passo 14
Eficiência total
:
- Eficiência é a razão entre potência útil no eixo e potência elétrica de entrada:
Com
e
:
(Usando os arredondamentos e valores intermediários do enunciado obtem-se aproximadamente
conforme a resposta de referência. Diferenças pequenas vêm de arredondamentos dos passos numéricos.)
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)