Um motor de indução trifásico de 460 V , quatro polos, 75 \mathrm{HP}, 60 \mathrm{~Hz} e ligado em Y, desenvolve seu conjugado induzido de plena carga com 3,5 \% de escorregamento quando está operando com 60 Hz e 460 V . As impedâncias por fase do modelo de circuito do motor são: R_{1}=0,058 \Omega, X_{1}=0,32 \Omega, X_{2}=0,386 \Omega e X_{M}=18 \Omega. As perdas mecânicas, no núcleo e suplementares podem ser ignoradas neste problema. Encontre:
a) o valor da resistência de rotor R_{2}. (R.: R_{2}=0,0082 \Omega ou 0,077 \Omega )
b) o conjugado máximo \tau_{\text {max }}, s_{\text {max }} e a velocidade do rotor no conjugado máximo considerando o maior valor de R_{2}. (R.: \tau_{\max }=373 \mathrm{~N} . \mathrm{m}, s_{\max }=0,0846, n_{\mathrm{m}}= 1648 rpm )
c) o conjugado induzido de partida do motor considerando o maior valor de R_{2}. (R.: \tau_{\text {ind }}=93,3 \mathrm{~N} . \mathrm{m} )

Passo 1

Aqui eu vou organizar claramente o que o enunciado dá e o que pede, para a gente não se perder no meio do cálculo — respira fundo, já estamos no caminho certo.
Dados fornecidos (todos por fase, salvo indicação em contrário):
\text{Tensão de linha } V_{LL}=460\\ \text{V, conexão em Y}ãã
\text{Número de polos } p=4,\quad f=60\\ \text{Hz}ú
\text{Potência nominal } P_{\text{shaft}}=75\\ \text{HP}=75\cdot 746\\ \text{W}=55950\\ \text{W}ê
\text{Escorregamento de plena carga } s_{\text{fl}}=3{,}5\%=0{,}035
Impedâncias por fase do circuito equivalente referido ao estator (todas em \Omega):
R_1=0{,}058,\quad X_1=0{,}32,\quad X_2=0{,}386,\quad X_M=18
Informações / observações úteis (do enunciado): perdas mecânicas, de núcleo e suplementares podem ser ignoradas. O enunciado pede três coisas:
a) encontrar a resistência do rotor R_2 (o enunciado mostra duas respostas possíveis como guia: R_2=0{,}0082\\ \Omega ou R_2=0{,}077\\ \Omega);
b) usando o maior valor de R_2, achar o conjugado máximo \tau_{\max}, o escorregamento em que ocorre s_{\max} e a velocidade do rotor no conjugado máximo n_m; (o enunciado dá um resultado de referência \tau_{\max}=373\\ \mathrm{N\cdot m},\\ s_{\max}=0{,}0846,\\ n_m=1648\\ \mathrm{rpm})
c) com o maior R_2, achar o conjugado induzido de partida \tau_{\text{ind}} (referência dada \tau_{\text{ind}}=93{,}3\\ \mathrm{N\cdot m}).
A partir daqui eu vou resolver passo a passo: primeiro calculo a equivalência trifásica por fase e o Thevenin visto pelo rotor; depois monto a expressão do conjugado em função do escorregamento, uso o dado do conjugado em plena carga para encontrar R_2 (vai aparecer uma equação quadrática e duas raízes — por isso as duas possíveis respostas dá sentido); por fim seleciono a maior raiz e uso fórmulas padrão (derivadas) para achar s_{\max}, \tau_{\max}, n_m e o conjugado de partida.

Passo 2

Primeiro passo técnico: obter grandezas por fase e o síncrono.
Tensão por fase (conexão em \mathrm{Y}):
V_{ph}=\frac{V_{LL}}{\sqrt{3}}=\frac{460}{\sqrt{3}}\\ \text{V}
Velocidade síncrona:
n_s=\frac{120 f}{p}=\frac{120\cdot 60}{4}=1800\\ \text{rpm}
Velocidade angular síncrona:
\omega_s=\frac{2\pi n_s}{60}=2\pi\cdot 30=60\pi\\ \text{rad/s}
Potência mecânica de saída (shaft) em W:
P_{\text{out}}=75\cdot 746 =55950\\ \text{W}
Como perdas mecânicas e suplementares são desprezadas, o conjugado desenvolvido pelo motor na plena carga é igual ao conjugado de eixo. O conjugado à plena carga (valor numérico que vamos usar para achar R_2) é:
\tau_{\text{fl}}=\frac{P_{\text{out}}}{\omega_m}
onde a velocidade mecânica do rotor é \omega_m=(1-s_{\text{fl}})\,\omega_s. Vou calcular \tau_{\text{fl}} numericamente:
\omega_m=(1-0{,}035)\omega_s=0{,}965\cdot 60\pi
\tau_{\text{fl}}=\frac{55950}{0{,}965\cdot 60\pi}
(mais adiante eu avalio o valor numérico; por enquanto deixo em símbolos para manter clareza dos passos).

Passo 3

Agora eu vou reduzir o circuito à forma de Thevenin visto pelos terminais do rotor (o procedimento padrão para motores de indução — facilita muito a expressão do conjugado). A ideia: reduzir a parte do estator e ramo de magnetização a uma tensão equivalente V_{th} em série com uma impedância Z_{th}=R_{th}+jX_{th}, então o rotor visto é \dfrac{R_2}{s}+jX_2 em série com Z_{th}.
Cálculo do Thevenin por fase:
  • impedância do estator: Z_1=R_1+jX_1
  • reatância do circuito magnetizante: jX_M
A tensão de Thevenin (tensão no ponto paralelo ao rotor quando abrimos a conexão rotor) é dada por divisão de tensão:
V_{th}=V_{ph}\cdot\frac{jX_M}{Z_1+jX_M}
A impedância de Thevenin é a impedância equivalente de Z_1 em paralelo com jX_M:
Z_{th}=(Z_1)\parallel (jX_M)=\frac{(Z_1)(jX_M)}{Z_1+jX_M}
Eu vou agora calcular numericamente V_{ph}, V_{th} e Z_{th} com todas as casas necessárias (a conta é um pouco trabalhosa, eu mostro cada passo numérico para você poder acompanhar e reproduzir na prova).

Passo 4

Cálculo numérico: primeiro V_{ph} e \omega_s,\omega_m,\tau_{\text{fl}}.
Tensão por fase:
V_{ph}=\frac{460}{\sqrt{3}}\approx 265{,}58\\ \text{V}
velocidade síncrona:
\omega_s=60\pi\approx 188{,}4956\\ \text{rad/s}
velocidade mecânica na plena carga:
\omega_m=(1-0{,}035)\omega_s=0{,}965\cdot 188{,}4956\approx 181{,}863\\ \text{rad/s}
conjugado à plena carga:
\tau_{\text{fl}}=\frac{55950}{181{,}863}\approx 307{,}66\\ \mathrm{N\cdot m}

Passo 5

Cálculo de V_{th} e Z_{th} numericamente (mostro as contas intermediárias para ficar claro):
Defino Z_1=0{,}058 + j0{,}32 e jX_M=j18. Então:
Z_1+jX_M = 0{,}058 + j(0{,}32+18)=0{,}058 + j18{,}32
Faço a divisão complexa para obter o fator multiplicador:
\frac{jX_M}{Z_1+jX_M}=\frac{j18}{0{,}058+j18{,}32}
Realizando a divisão complexa (multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador) obtém-se numericamente:
\frac{j18}{0{,}058+j18{,}32}\approx 0{,}981999 + j0{,}003110
Portanto
V_{th}=V_{ph}\cdot(0{,}981999 + j0{,}003110)\approx 265{,}58\cdot(0{,}981999 + j0{,}003110)
\Rightarrow V_{th}\approx 260{,}90 \angle 0{,}18^\circ\\ \text{V}
Magnitude ao quadrado (vai entrar nas fórmulas):
|V_{th}|^2\approx 260{,}90^2 \approx 68068{,}2\\ \text{V}^2
Agora Z_{th}. Faço o produto e a divisão:
Z_{th}=\frac{(0{,}058+j0{,}32)(j18)}{0{,}058+j18{,}32}
Executando o produto e a divisão complexa obtemos numericamente:
Z_{th}\approx 0{,}055937 + j0{,}314824\\ \Omega
Ou seja:
R_{th}\approx 0{,}05594\\ \Omega,\quad X_{th}\approx 0{,}31482\\ \Omega
E a soma de reatâncias que aparecerá constantemente é
X_{\text{sum}}=X_{th}+X_2\approx 0{,}314824 + 0{,}386 = 0{,}700824\\ \Omega.

Passo 6

Expressão do conjugado eletromagnético usando o modelo de Thevenin (forma padrão). Em termos do parâmetro auxiliar r=\dfrac{R_2}{s} (resistência do rotor referida dividida pelo escorregamento), o módulo da corrente rotor é |I_2|=\dfrac{|V_{th}|}{\sqrt{(R_{th}+r)^2+(X_{\text{sum}})^2}}. O conjugado eletromagnético por fase convertido para conjugado total trifásico é:
Fórmula padrão (mostro a origem intuitiva): o livro ensina que o conjugado (em N·m) é a potência que atravessa o gap magnético dividida por \omega_s, e essa potência é 3|I_2|^2 (R_2/s). Assim:
\tau(s)=\frac{3}{\omega_s}\cdot \frac{|V_{th}|^2\cdot (R_2/s)}{(R_{th}+R_2/s)^2 + (X_{\text{sum}})^2}.
Usando r=R_2/s simplifica para
\tau(r)=\frac{3|V_{th}|^2}{\omega_s}\cdot\frac{r}{(R_{th}+r)^2 + X_{\text{sum}}^2}.
Defino a constante
A=\frac{3|V_{th}|^2}{\omega_s}
para simplificar a escrita; numericamente veremos que A\approx 1083{,}69 (vou calcular já).

Passo 7

Avalio numericamente a constante A:
A=\frac{3\cdot 68068{,}2}{188{,}4956}\approx 1083{,}69.
Agora usamos a condição do enunciado: na plena carga o conjugado é \tau_{\text{fl}} quando s=s_{\text{fl}}=0{,}035. Substituímos r=R_2/s_{\text{fl}} e impomos \tau(r)=\tau_{\text{fl}}. Isso dá uma equação em r (e consequentemente em R_2). Escrevendo explicitamente:
\tau_{\text{fl}} = A\cdot\frac{r}{(R_{th}+r)^2 + X_{\text{sum}}^2}
Rearranjando para ter uma equação polinomial (quadrática) em r:
\tau_{\text{fl}}\big((R_{th}+r)^2 + X_{\text{sum}}^2\big) = A r
\tau_{\text{fl}} r^2 + 2\tau_{\text{fl}} R_{th} r + \tau_{\text{fl}}(R_{th}^2 + X_{\text{sum}}^2) - A r = 0
ou
\tau_{\text{fl}} r^2 + (2\tau_{\text{fl}} R_{th} - A) r + \tau_{\text{fl}}(R_{th}^2 + X_{\text{sum}}^2)=0.
Essa é uma quadrática usual a r^2 + b r + c = 0 com:
a=\tau_{\text{fl}},\quad b=2\tau_{\text{fl}} R_{th} - A,\quad c=\tau_{\text{fl}}(R_{th}^2 + X_{\text{sum}}^2).

Passo 8

Agora eu resolvo numericamente a quadrática para r, depois recupero R_2 = s_{\text{fl}}\cdot r.
Substituindo os valores numéricos já calculados:
\tau_{\text{fl}}\approx 307{,}66,\quad R_{th}\approx 0{,}055937,\quad X_{\text{sum}}\approx 0{,}700824,\quad A\approx 1083{,}69.
Calculo os coeficientes:
a=307{,}66
b=2\cdot 307{,}66\cdot 0{,}055937 - 1083{,}69 \approx 34{,}397 - 1083{,}69 \approx -1049{,}293
c=307{,}66\cdot(0{,}055937^2 + 0{,}700824^2)\approx 307{,}66\cdot 0{,}494284\approx 151{,}943
Discriminante:
\Delta=b^2-4ac\approx (-1049{,}293)^2 - 4\cdot 307{,}66\cdot 151{,}943 \approx 914{,}024
Raízes para r:
r=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{1049{,}293\pm 956{,}062}{615{,}332}
Isso dá duas soluções:
r_1\approx \frac{1049{,}293+956{,}062}{615{,}332}\approx 3{,}2584
r_2\approx \frac{1049{,}293-956{,}062}{615{,}332}\approx 0{,}1515
Agora recupero R_2 usando R_2=s_{\text{fl}}\cdot r:
R_{2,1}=0{,}035\cdot 3{,}2584\approx 0{,}11405\\ \Omega
R_{2,2}=0{,}035\cdot 0{,}1515\approx 0{,}00530\\ \Omega
Portanto, a equação produz duas raízes físicas para R_2: aproximadamente \;0{,}00530\\ \Omega e \;0{,}11405\\ \Omega. Isso explica por que o enunciado cita duas possibilidades (dependendo de choques de modelagem/approximações pode-se obter raízes diferentes). Ambas as raízes matematicamente satisfazem a condição de conjugado em plena carga (uma corresponde a rotor com resistência baixa, a outra a rotor com resistência relativamente maior).

Passo 9

Interpretação e escolha do maior valor: o enunciado pede explicitamente para, nas partes seguintes, considerar o maior valor de R_2. Assim vamos tomar
R_2 \approx 0{,}11405\\ \Omega.
(Antes de seguir, recapitule: obtivemos duas soluções; tomei a maior conforme pedido.)
Agora vamos calcular o conjugado máximo \tau_{\max}, o escorregamento em que ocorre s_{\max} e a velocidade do rotor correspondente. Há uma fórmula padrão (obtida derivando \tau(s) e igualando a zero) que diz que, no modelo de Thevenin,
quando escrevemos r=\dfrac{R_2}{s}, o conjugado é máximo quando
r_{\text{óptimo}}=\sqrt{R_{th}^2 + X_{\text{sum}}^2}.ó
Dessa condição segue o escorregamento em que o conjugado máximo ocorre:
s_{\max}=\frac{R_2}{r_{\text{óptimo}}}=\frac{R_2}{\sqrt{R_{th}^2 + X_{\text{sum}}^2}}.ó
E então a velocidade mecânica no conjugado máximo é
n_m=(1-s_{\max})\,n_s.
O próprio valor de \tau_{\max} pode ser obtido substituindo r_{\text{óptimo}}ó na expressão de \tau(r):
\tau_{\max}=A\cdot\frac{r_{\text{óptimo}}}{(R_{th}+r_{\text{óptimo}})^2 + X_{\text{sum}}^2}.óó
Vou calcular tudo numericamente.

Passo 10

Cálculos numéricos para s_{\max}, n_m, \tau_{\max} usando R_2=0{,}11405\\ \Omega.
Primeiro o valor de r_{\text{óptimo}}ó:
r_{\text{óptimo}}=\sqrt{R_{th}^2 + X_{\text{sum}}^2}=\sqrt{0{,}055937^2 + 0{,}700824^2}\approx 0{,}70306.ó
Escorregamento de pico:
s_{\max}=\frac{R_2}{r_{\text{óptimo}}}=\frac{0{,}11405}{0{,}70306}\approx 0{,}1622.ó
Velocidade do rotor no pico (em rpm):
n_m=(1-s_{\max})n_s=(1-0{,}1622)\cdot 1800\approx 0{,}8378\cdot 1800\approx 1508{,}1\\ \text{rpm}.
Agora \tau_{\max}. Usando A\approx 1083{,}69 e a fórmula:
\tau_{\max}=A\cdot\frac{r_{\text{óptimo}}}{(R_{th}+r_{\text{óptimo}})^2 + X_{\text{sum}}^2}.óó
Faço os cálculos:
R_{th}+r_{\text{óptimo}}\approx 0{,}055937 + 0{,}70306 \approx 0{,}758997ó
(R_{th}+r_{\text{óptimo}})^2 + X_{\text{sum}}^2 \approx 0{,}758997^2 + 0{,}700824^2 \approx 0{,}57604 + 0{,}49116 \approx 1{,}06720ó
\tau_{\max}\approx 1083{,}69\cdot\frac{0{,}70306}{1{,}06720}\approx \frac{761{,}67}{1{,}06720}\approx 713{,}7\\ \mathrm{N\cdot m}
Portanto, com o maior R_2 que obtivemos, o conjugado máximo calculado pelo modelo de Thevenin é aproximadamente 713{,}7\\ \mathrm{N\cdot m}, ocorrendo em s_{\max}\approx 0{,}1622 (ou seja, n_m\approx 1508{,}1\\ \mathrm{rpm}).

Passo 11

Agora calculo o conjugado de partida (induzido de partida), que corresponde a s=1. Usando novamente a expressão geral do conjugado:
\tau(s)=A\cdot\frac{r}{(R_{th}+r)^2 + X_{\text{sum}}^2},\quad r=\frac{R_2}{s}.
Em s=1 temos r=R_2. Com R_2=0{,}11405\\ \Omega:
r_{\text{start}}=R_2=0{,}11405
Denominador:
(R_{th}+r_{\text{start}})^2 + X_{\text{sum}}^2=(0{,}055937+0{,}11405)^2 + 0{,}700824^2 \approx 0{,}169987^2 + 0{,}49116 \approx 0{,}02890 + 0{,}49116 \approx 0{,}52006
Então
\tau_{\text{ind}}=1083{,}69\cdot\frac{0{,}11405}{0{,}52006}\approx \frac{123{,}55}{0{,}52006}\approx 237{,}6\\ \mathrm{N\cdot m}.

Passo 12

Resumo das interpretações e observações finais (rápido, animador):
  • A equação do conjugado deu duas raízes para R_2. Isso é normal: a dependência não é linear e modelagens diferentes ou aproximações (por exemplo, desprezar ramo magnetizante ou usar aproximação de tensão por fase) mudam qual raiz é “realista”.
  • O enunciado pedia que se considerasse o maior valor de R_2 para as partes (b) e (c), por isso usei R_2\approx 0{,}11405\\ \Omega (o maior das duas raízes que obtive). Com esse valor obtive \tau_{\max}, s_{\max}, n_m e \tau_{\text{ind}} mostrados.
Se você preferir, posso refazer os cálculos adotando hipóteses alternativas (por exemplo, desprezar X_M ou adotar outras aproximações) para produzir as raízes parecidas com os valores que seu enunciado sugere (0{,}0082\\ \Omega\\ \text{ou}\\\ 0{,}077\\ \Omega) — às vezes professores usam uma simplificação que leva àquela segunda raiz. Me diga se quer que eu repita adotando uma aproximação específica; eu refaço passo a passo.

Resposta

a) R_2\approx 0{,}00530\\ \Omega ou R_2\approx 0{,}11405\\ \Omega
b) (usando o maior valor R_2\approx 0{,}11405\\ \Omega) \tau_{\max}\approx 713{,}7\\ \mathrm{N\cdot m},\\ s_{\max}\approx 0{,}1622,\\ n_m\approx 1508{,}1\\ \mathrm{rpm}
c) (usando o maior valor R_2\approx 0{,}11405\\ \Omega) \tau_{\text{ind}}\approx 237{,}6\\ \mathrm{N\cdot m}

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