Um motor de indução trifásico de 460 V , quatro polos,
e ligado em Y, desenvolve seu conjugado induzido de plena carga com
de escorregamento quando está operando com 60 Hz e 460 V . As impedâncias por fase do modelo de circuito do motor são:
e
. As perdas mecânicas, no núcleo e suplementares podem ser ignoradas neste problema. Encontre:
a) o valor da resistência de rotor
. (R.:
ou
)
b) o conjugado máximo
e a velocidade do rotor no conjugado máximo considerando o maior valor de
. (R.:
1648 rpm )
c) o conjugado induzido de partida do motor considerando o maior valor de
. (R.:
)
a) o valor da resistência de rotor
b) o conjugado máximo
c) o conjugado induzido de partida do motor considerando o maior valor de
Passo 1
Aqui eu vou organizar claramente o que o enunciado dá e o que pede, para a gente não se perder no meio do cálculo — respira fundo, já estamos no caminho certo.
Dados fornecidos (todos por fase, salvo indicação em contrário):
Dados fornecidos (todos por fase, salvo indicação em contrário):
Impedâncias por fase do circuito equivalente referido ao estator (todas em
):
Informações / observações úteis (do enunciado): perdas mecânicas, de núcleo e suplementares podem ser ignoradas. O enunciado pede três coisas:
a) encontrar a resistência do rotor (o enunciado mostra duas respostas possíveis como guia:
ou
);
b) usando o maior valor de , achar o conjugado máximo
, o escorregamento em que ocorre
e a velocidade do rotor no conjugado máximo
; (o enunciado dá um resultado de referência
)
c) com o maior , achar o conjugado induzido de partida
(referência dada
).
a) encontrar a resistência do rotor
b) usando o maior valor de
c) com o maior
A partir daqui eu vou resolver passo a passo: primeiro calculo a equivalência trifásica por fase e o Thevenin visto pelo rotor; depois monto a expressão do conjugado em função do escorregamento, uso o dado do conjugado em plena carga para encontrar
(vai aparecer uma equação quadrática e duas raízes — por isso as duas possíveis respostas dá sentido); por fim seleciono a maior raiz e uso fórmulas padrão (derivadas) para achar
,
,
e o conjugado de partida.
Passo 2
Primeiro passo técnico: obter grandezas por fase e o síncrono.
Tensão por fase (conexão em ):
Tensão por fase (conexão em
Velocidade síncrona:
Velocidade angular síncrona:
Potência mecânica de saída (shaft) em W:
Como perdas mecânicas e suplementares são desprezadas, o conjugado desenvolvido pelo motor na plena carga é igual ao conjugado de eixo. O conjugado à plena carga (valor numérico que vamos usar para achar
) é:
onde a velocidade mecânica do rotor é
. Vou calcular
numericamente:
(mais adiante eu avalio o valor numérico; por enquanto deixo em símbolos para manter clareza dos passos).
Passo 3
Agora eu vou reduzir o circuito à forma de Thevenin visto pelos terminais do rotor (o procedimento padrão para motores de indução — facilita muito a expressão do conjugado). A ideia: reduzir a parte do estator e ramo de magnetização a uma tensão equivalente
em série com uma impedância
, então o rotor visto é
em série com
.
Cálculo do Thevenin por fase:
- impedância do estator:
- reatância do circuito magnetizante:
A tensão de Thevenin (tensão no ponto paralelo ao rotor quando abrimos a conexão rotor) é dada por divisão de tensão:
A impedância de Thevenin é a impedância equivalente de
em paralelo com
:
Eu vou agora calcular numericamente
,
e
com todas as casas necessárias (a conta é um pouco trabalhosa, eu mostro cada passo numérico para você poder acompanhar e reproduzir na prova).
Passo 4
Cálculo numérico: primeiro
e
.
Tensão por fase:
velocidade síncrona:
velocidade mecânica na plena carga:
conjugado à plena carga:
Passo 5
Cálculo de
e
numericamente (mostro as contas intermediárias para ficar claro):
Defino
e
. Então:
Faço a divisão complexa para obter o fator multiplicador:
Realizando a divisão complexa (multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador) obtém-se numericamente:
Portanto
Magnitude ao quadrado (vai entrar nas fórmulas):
Agora
. Faço o produto e a divisão:
Executando o produto e a divisão complexa obtemos numericamente:
Ou seja:
E a soma de reatâncias que aparecerá constantemente é
Passo 6
Expressão do conjugado eletromagnético usando o modelo de Thevenin (forma padrão). Em termos do parâmetro auxiliar
(resistência do rotor referida dividida pelo escorregamento), o módulo da corrente rotor é
. O conjugado eletromagnético por fase convertido para conjugado total trifásico é:
Fórmula padrão (mostro a origem intuitiva): o livro ensina que o conjugado (em N·m) é a potência que atravessa o gap magnético dividida por
, e essa potência é
. Assim:
Usando
simplifica para
Defino a constante
para simplificar a escrita; numericamente veremos que
(vou calcular já).
Passo 7
Avalio numericamente a constante
:
Agora usamos a condição do enunciado: na plena carga o conjugado é
quando
. Substituímos
e impomos
. Isso dá uma equação em
(e consequentemente em
). Escrevendo explicitamente:
Rearranjando para ter uma equação polinomial (quadrática) em
:
ou
Essa é uma quadrática usual
com:
Passo 8
Agora eu resolvo numericamente a quadrática para
, depois recupero
.
Substituindo os valores numéricos já calculados:
Calculo os coeficientes:
Discriminante:
Raízes para
:
Isso dá duas soluções:
Agora recupero
usando
:
Portanto, a equação produz duas raízes físicas para
: aproximadamente
e
. Isso explica por que o enunciado cita duas possibilidades (dependendo de choques de modelagem/approximações pode-se obter raízes diferentes). Ambas as raízes matematicamente satisfazem a condição de conjugado em plena carga (uma corresponde a rotor com resistência baixa, a outra a rotor com resistência relativamente maior).
Passo 9
Interpretação e escolha do maior valor: o enunciado pede explicitamente para, nas partes seguintes, considerar o maior valor de
. Assim vamos tomar
(Antes de seguir, recapitule: obtivemos duas soluções; tomei a maior conforme pedido.)
Agora vamos calcular o conjugado máximo
, o escorregamento em que ocorre
e a velocidade do rotor correspondente. Há uma fórmula padrão (obtida derivando
e igualando a zero) que diz que, no modelo de Thevenin,
quando escrevemos , o conjugado é máximo quando
quando escrevemos
Dessa condição segue o escorregamento em que o conjugado máximo ocorre:
E então a velocidade mecânica no conjugado máximo é
O próprio valor de
pode ser obtido substituindo
na expressão de
:
Vou calcular tudo numericamente.
Passo 10
Cálculos numéricos para
usando
.
Primeiro o valor de
:
Escorregamento de pico:
Velocidade do rotor no pico (em rpm):
Agora
. Usando
e a fórmula:
Faço os cálculos:
Portanto, com o maior
que obtivemos, o conjugado máximo calculado pelo modelo de Thevenin é aproximadamente
, ocorrendo em
(ou seja,
).
Passo 11
Agora calculo o conjugado de partida (induzido de partida), que corresponde a
. Usando novamente a expressão geral do conjugado:
Em
temos
. Com
:
Denominador:
Então
Passo 12
Resumo das interpretações e observações finais (rápido, animador):
- A equação do conjugado deu duas raízes para
. Isso é normal: a dependência não é linear e modelagens diferentes ou aproximações (por exemplo, desprezar ramo magnetizante ou usar aproximação de tensão por fase) mudam qual raiz é “realista”. - O enunciado pedia que se considerasse o maior valor de
para as partes (b) e (c), por isso usei (o maior das duas raízes que obtive). Com esse valor obtive , , e mostrados.
Se você preferir, posso refazer os cálculos adotando hipóteses alternativas (por exemplo, desprezar
ou adotar outras aproximações) para produzir as raízes parecidas com os valores que seu enunciado sugere
— às vezes professores usam uma simplificação que leva àquela segunda raiz. Me diga se quer que eu repita adotando uma aproximação específica; eu refaço passo a passo.
Resposta
a)
ou
b) (usando o maior valor )
c) (usando o maior valor )
b) (usando o maior valor
c) (usando o maior valor