Um motor de indução trifásico, de oito polos, 60 \mathrm{~Hz}, 4,160 \mathrm{kV}, gaiola de esquilo de 1 MW tem os seguintes parâmetros de circuito elétrico equivalente em ohms por fase, conectado em Y, referidos ao estator:
R_{\mathrm{s}}=0,220, \quad R_{\mathrm{r}}^{\prime}=0,207, \quad X_{\ell \mathrm{s}}=1,95, \quad X_{\ell \mathrm{r}}^{\prime}=2,42 \quad \text { e } \quad X_{\mathrm{m}}=45,7 .
Determine as alterações nessas constantes que resultarão das seguintes modificações de projeto propostas. Considere cada modificação separadamente.
Diminua o diâmetro interno das laminações do estator de modo que o entreferro seja reduzido em 15 \%.

Passo 1

O enunciado dá um motor com os parâmetros por fase (conectado em Y, referidos ao estator):
R_{\mathrm{s}}=0,220,\quad R_{\mathrm{r}}^{\prime}=0,207,\quad X_{\ell \mathrm{s}}=1,95,\quad X_{\ell \mathrm{r}}^{\prime}=2,42,\quad X_{\mathrm{m}}=45,7.
A modificação proposta (a ser considerada isoladamente) é: reduzir o entreferro em 15\%.
O que se pede aqui é determinar como cada uma dessas constantes (as cinco acima) se altera por causa dessa redução do entreferro.

Passo 2

Conceito físico que precisamos usar (explicação didática e passo a passo):
  • O entreferro é a região de ar por onde passa o fluxo magnético principal entre estator e rotor. Em termos de circuito magnético, o entreferro tem uma reluctância (resistência magnética) que depende diretamente do comprimento do entreferro g.
  • A reluctância do entreferro pode ser escrita, em forma simplificada, como
\mathcal{R}_g=\dfrac{g}{\mu_0 A},
onde \mu_0 é a permeabilidade do vácuo e A é a área da seção magnética. Isso significa que, mantendo área e número de espiras, quanto menor g menor a reluctância do entreferro.
  • A indutância de magnetização L_{\mathrm{m}} (da ramificação que representa o entreferro no circuito equivalente) está relacionada à reluctância total do circuito magnético por
L_{\mathrm{m}}=\dfrac{N^2}{\mathcal{R}_{\text{total}}}.
Em máquinas elétricas típicas a reluctância do núcleo ferromagnético é muito menor que a do entreferro, logo a reluctância total é dominada pelo entreferro. Assim, para fins práticos pode-se usar a aproximação simples
L_{\mathrm{m}}\propto \dfrac{1}{g}.
  • Como a reatância de magnetização é X_{\mathrm{m}}=\omega L_{\mathrm{m}} e a frequência \omega não muda, tem-se que
X_{\mathrm{m}}\propto \dfrac{1}{g}.
Ou seja, se o entreferro diminui, X_{\mathrm{m}} aumenta na mesma proporção (inversamente proporcional ao comprimento do entreferro).
  • As resistências elétricas R_{\mathrm{s}} e R_{\mathrm{r}}^{\prime} dependem somente de condutores, geometria e condutividade e não do entreferro magnético, portanto não se alteram por mudança no entreferro.
  • As reatâncias de fuga (leakage) do estator e do rotor, X_{\ell \mathrm{s}} e X_{\ell \mathrm{r}}^{\prime}, são devidas a caminhos de fluxo que envolvem folgas locais, dentes, enrolamentos e extremidades; elas são, em geral, pouco sensíveis ao comprimento do entreferro principal. Portanto, para uma mudança de 15\% no entreferro, é aceitável (e usual) considerá‑las praticamente invariantes.

Passo 3

Calcular o fator de variação provocado por reduzir o entreferro em 15\%. Se o entreferro original é g, o novo entreferro é
g' = 0,85\,g.
Pela proporcionalidade X_{\mathrm{m}}\propto 1/g, o fator multiplicativo para X_{\mathrm{m}} é
\frac{X_{\mathrm{m}}'}{X_{\mathrm{m}}}=\frac{g}{g'}=\frac{1}{0,85}\approx 1,1764706.
Isso corresponde a um aumento percentual de
\left(\frac{1}{0,85}-1\right)\times100\%\approx 17,647\%\\ (\text{aprox. }17,65\%).

Passo 4

Aplicar o fator ao valor numérico dado de X_{\mathrm{m}}:
X_{\mathrm{m}}' = X_{\mathrm{m}}\cdot \frac{1}{0,85}=45,7\cdot\frac{1}{0,85}.
Cálculo:
X_{\mathrm{m}}' \approx 45,7\times 1,1764706 \approx 53,76.
Portanto X_{\mathrm{m}} aumenta de 45,7 para aproximadamente 53,76.

Passo 5

Concluir as alterações em cada parâmetro e justificar de forma direta:
  • R_{\mathrm{s}}: não muda, pois depende de resistência do enrolamento (comprimento, seção e resistividade), não do entreferro.
  • R_{\mathrm{r}}^{\prime}: não muda, mesma razão do item anterior aplicada ao rotor referido.
  • X_{\ell \mathrm{s}}: fica praticamente inalterada; a parcela de reatância de fuga não é dominada pelo entreferro principal e muda negligivelmente para uma variação de 15\% do entreferro.
  • X_{\ell \mathrm{r}}^{\prime}: idem ao caso do estator, praticamente inalterada.
  • X_{\mathrm{m}}: aumenta na mesma proporção inversa à redução do entreferro; calculamos X_{\mathrm{m}}'\approx 53,76, aumento de cerca de 17,65\%.

Passo 6

Valores finais (resumo numérico dos parâmetros após a redução do entreferro em 15\%):
  • R_{\mathrm{s}}=0,220 (inalterado)
  • R_{\mathrm{r}}^{\prime}=0,207 (inalterado)
  • X_{\ell \mathrm{s}}=1,95 (praticamente inalterado)
  • X_{\ell \mathrm{r}}^{\prime}=2,42 (praticamente inalterado)
  • X_{\mathrm{m}}\approx 53,76 (aumento de \approx 17,65\% em relação a 45,7)

Resposta

R_{\mathrm{s}}=0,220
R_{\mathrm{r}}^{\prime}=0,207
X_{\ell \mathrm{s}}=1,95
X_{\ell \mathrm{r}}^{\prime}=2,42
X_{\mathrm{m}}\approx 53,76

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