• Sedra 11^{\mathrm{a}} ed. 4.77 ) Um retificador de onda completa com carga de 500 \Omega opera a partir de uma fonte de 120 V RMS e 60 Hz através de um transformador abaixador 6:1. Calcular para um capacitor que resulta em ondulação de tensão de (I) 1% do valor de pico e (II) 10% do valor de pico.
    a) Qual a tensão média na carga?
    b) Qual fração do ciclo o diodo conduz?
    c) Qual a corrente média no diodo?
    d) Qual a corrente de pico no diodo?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
  • Dados do enunciado:
    • Tensão da fonte primária: 120\\ \text{V RMS} a 60\\ \text{Hz}.
    • Transformador abaixador com relação 6\!:\!1.
    • Carga resistiva R_L = 500\\ \Omega.
    • Retificador de onda completa com capacitor de filtro; pede duas situações do capacitor que produzam ondulação (ripple) igual a:
      • (I) 1\% do valor de pico;
      • (II) 10\% do valor de pico.
  • O que o enunciado pergunta (para cada caso I e II):
    a) Qual a tensão média na carga?
    b) Qual fração do ciclo o diodo conduz?
    c) Qual a corrente média no diodo?
    d) Qual a corrente de pico no diodo?
  • Observações/assunções iniciais (não feitas perguntas ao usuário):
    • Vou assumir diodos ideais (queda de tensão nula). Se a queda das junções fosse fornecida, faria a correção subtraindo 2V_D do pico na ponte.
    • Para retificador de onda completa, a frequência de ocorrência dos picos é f_r = 2f = 120\\ \text{Hz}.
    • A análise usará a aproximação usual do filtro capacitvo (capacitor carregando rapidamente até o pico e descarregando quase linearmente até o próximo pico), o que é adequado quando a ondulação é relativamente pequena.

Passo 2

Calcular a tensão do secundário do transformador e o valor do pico disponível (antes do filtro).
  • Tensão RMS do secundário:
V_{s,\text{rms}}=\frac{120}{6}=20\\ \text{V}.
  • Valor de pico do secundário:
V_p = V_{s,\text{rms}}\sqrt{2}=20\sqrt{2}\\ \text{V}\approx 20\cdot1,4142=28{,}2843\\ \text{V}.
Este V_p é o pico da tensão que aparece na ponte retificadora (estou assumindo diodos ideais).

Passo 3

Explicar e aplicar a fórmula da ondulação (ripple) para capacitor de filtro em retificador de onda completa.
  • Teoria (explicadinha): entre dois picos consecutivos do retificador full-wave há um intervalo \Delta t = \dfrac{1}{f_r}=\dfrac{1}{2f}. O capacitor fornece corrente à carga durante esse intervalo e, portanto, sua tensão cai de um pico até um valor mais baixo. Aproximando a descarga do capacitor como aproximadamente linear (válido quando o ripple é pequeno), a queda de tensão (amplitude da ondulação) \Delta V relaciona-se com a corrente da carga I_{L}, a capacitância C e o tempo entre picos:
\Delta V = \frac{I_L}{C f_r} = \frac{I_L}{2 f C}.
  • Aqui I_L é a corrente média na carga (próxima de constante DC), f é a frequência da rede (60 Hz), e f_r=2f é a taxa de picos do retificador full-wave.

Passo 4

Expressar a tensão média na carga em função de V_p e \Delta V.
  • Teoria: com o capacitor formando um ripple aproximadamente triangular entre V_p (no pico de carregamento) e V_p-\Delta V, a tensão média sobre o capacitor (e sobre a carga) é aproximadamente:
V_{DC}\approx V_p - \frac{\Delta V}{2}.
  • Isso porque a média de uma rampa (sawtooth) entre esses valores é o ponto médio.

Passo 5

Determinar a capacitância C necessária para um dado \Delta V (usando \Delta V dado como fração do pico).
  • A enunciação dá \Delta V como porcentagem do pico. Então seja a a fração (por exemplo a=0,01 para 1\%), temos:
\Delta V = a V_p.
  • Reorganizando a fórmula do ripple para C:
C=\frac{I_L}{2 f \Delta V}.
  • Mas I_L depende de V_{DC}, e V_{DC} depende de \Delta V. Procedimento prático: escrevemos I_L = V_{DC}/R_L com V_{DC}\approx V_p-\Delta V/2. Substituímos e resolvemos numericamente.

Passo 6

Caso I: ondulação 1\% do pico ( a=0,01). Calcular \Delta V, V_{DC}, I_L e C.
  • Calcular \Delta V:
\Delta V = 0{,}01\;V_p = 0{,}01\cdot 28{,}2843\\ \text{V}=0{,}2828427\\ \text{V}.
  • Calcular V_{DC}:
V_{DC}\approx V_p-\frac{\Delta V}{2}=28{,}2843-\frac{0{,}2828427}{2}=28{,}2843-0{,}14142135=28{,}1429\\ \text{V}.
  • Corrente na carga:
I_L=\frac{V_{DC}}{R_L}=\frac{28{,}1429}{500}=0{,}0562858\\ \text{A}\approx 56{,}29\\ \text{mA}.
  • Capacitância necessária:
C=\frac{I_L}{2 f \Delta V}=\frac{0{,}0562858}{2\cdot 60\cdot 0{,}2828427}=\frac{0{,}0562858}{33{,}9411}\approx 0{,}001658\\ \text{F}=1658\\ \mu\text{F}.

Passo 7

Caso I (continuação): determinar a fração do ciclo em que o diodo conduz (ângulo de condução) e as correntes médias e de pico.
  • Teoria do ângulo de condução (explicadinha e derivação aproximada):
    • A condução ocorre numa pequena janela em torno dos picos, quando a tensão da fonte ultrapassa a tensão do capacitor e “recarrega” o capacitor até o pico.
    • Aproximando a forma senoidal perto do pico por V_p\cos\theta\approx V_p\left(1-\dfrac{\theta^2}{2}\right) para pequenos \theta, e pedindo que a diferença entre o pico e a tensão no instante de início/fim da condução seja cerca de \Delta V, obtém-se a aproximação clássica:
\Delta V \approx V_p\left(1-\cos\theta\right)\approx V_p\frac{\theta^2}{2}.
  • Daí:
\theta \approx \sqrt{\frac{2\Delta V}{V_p}}.
  • O intervalo de condução por evento é 2\theta (radianos). Cada diodo conduz uma vez por ciclo (em retificador ponte cada diodo conduz num dos picos), então a fração do ciclo (360° = 2\pi rad) em que um dado diodo conduz é:
\text{fração}=\frac{2\theta}{2\pi}=\frac{\theta}{\pi}.çã
  • Observação: também é comum citar fração do meio-ciclo ( \pi rad): aí a fração seria 2\theta/\pi.
  • Agora calcular \theta para o caso I:
\theta \approx \sqrt{\frac{2\Delta V}{V_p}}=\sqrt{\frac{2\cdot 0{,}2828427}{28{,}2843}}=\sqrt{0{,}02}=0{,}141421\\ \text{rad}.
  • Fração do ciclo que o diodo conduz:
\text{fração}=\frac{\theta}{\pi}=\frac{0{,}141421}{\pi}\approx 0{,}0450\approx 4{,}50\%.çã
  • Corrente média no diodo:
    • Argumento físico simples: a carga demanda corrente I_L contínua. Essa corrente total é entregue por duas conduções (dois picos) por ciclo; cada diodo particular conduz apenas em uma dessas conduções por ciclo; portanto a carga total de corrente por ciclo que passa por um determinado diodo corresponde a metade da carga total por ciclo. Logo a corrente média de cada diodo (média sobre todo o período) é:
I_{D,\text{avg}}=\frac{I_L}{2}.
  • Para o caso I:
I_{D,\text{avg}}=\frac{0{,}0562858}{2}=0{,}0281429\\ \text{A}\approx 28{,}14\\ \text{mA}.
  • Corrente de pico no diodo (aproximação triangular do pulso de carga):
    • Aproximação prática: a carga entregue numa condução é Q=\dfrac{I_L}{f_r}=\dfrac{I_L}{2f} (a carga perdida pelo capacitor entre picos). Se o tempo de condução é t_c\approx \dfrac{2\theta}{\omega}=\dfrac{2\theta}{2\pi f}=\dfrac{\theta}{\pi f}, e se o formato do pulso de corrente de recarga for aproximadamente triangular, então a corrente de pico é cerca de:
I_{D,\text{pk}}\approx \frac{Q}{t_c}\cdot 2=\frac{I_L/(2f)}{(\theta/(\pi f))}\cdot 2 =I_L\cdot\frac{\pi}{\theta}.
  • Assim:
I_{D,\text{pk}}\approx I_L\frac{\pi}{\theta}.
  • Calculando para o caso I:
I_{D,\text{pk}}\approx 0{,}0562858\cdot\frac{\pi}{0{,}141421} =0{,}0562858\cdot 22{,}2144\approx 1{,}250\\ \text{A}.

Passo 8

Caso II: ondulação 10\% do pico ( a=0,10). Calcular \Delta V, V_{DC}, I_L e C.
  • Calcular \Delta V:
\Delta V = 0{,}10\;V_p = 0{,}10\cdot 28{,}2843\\ \text{V}=2{,}82843\\ \text{V}.
  • Calcular V_{DC}:
V_{DC}\approx V_p-\frac{\Delta V}{2}=28{,}2843-\frac{2{,}82843}{2}=28{,}2843-1{,}414215=26{,}8701\\ \text{V}.
  • Corrente na carga:
I_L=\frac{V_{DC}}{R_L}=\frac{26{,}8701}{500}=0{,}0537402\\ \text{A}\approx 53{,}74\\ \text{mA}.
  • Capacitância necessária:
C=\frac{I_L}{2 f \Delta V}=\frac{0{,}0537402}{2\cdot 60\cdot 2{,}82843} =\frac{0{,}0537402}{339{,}4116}\approx 0{,}00015845\\ \text{F}=158{,}45\\ \mu\text{F}.

Passo 9

Caso II (continuação): ângulo de condução e correntes média e de pico.
  • Calcular \theta:
\theta \approx \sqrt{\frac{2\Delta V}{V_p}}=\sqrt{\frac{2\cdot 2{,}82843}{28{,}2843}}=\sqrt{0{,}2}=0{,}4472136\\ \text{rad}.
  • Fração do ciclo que o diodo conduz:
\text{fração}=\frac{\theta}{\pi}=\frac{0{,}4472136}{\pi}\approx 0{,}14235\approx 14{,}24\%.çã
  • Corrente média no diodo:
I_{D,\text{avg}}=\frac{I_L}{2}=\frac{0{,}0537402}{2}=0{,}0268701\\ \text{A}\approx 26{,}87\\ \text{mA}.
  • Corrente de pico no diodo usando a mesma aproximação:
I_{D,\text{pk}}\approx I_L\frac{\pi}{\theta}=0{,}0537402\cdot\frac{\pi}{0{,}4472136} =0{,}0537402\cdot 7{,}02481\approx 0{,}3777\\ \text{A}.

Resposta

(I) C\approx 1658\\ \mu\text{F}
(I) V_{DC}\approx 28{,}143\\ \text{V}
(I) fração do ciclo que o diodo conduz \approx 4{,}50\%
(I) I_{D,\text{avg}}\approx 28{,}14\\ \text{mA}
(I) I_{D,\text{pk}}\approx 1{,}25\\ \text{A}
(II) C\approx 158{,}45\\ \mu\text{F}
(II) V_{DC}\approx 26{,}870\\ \text{V}
(II) fração do ciclo que o diodo conduz \approx 14{,}24\%
(II) I_{D,\text{avg}}\approx 26{,}87\\ \text{mA}
(II) I_{D,\text{pk}}\approx 0{,}378\\ \text{A}

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