Um motor de indução trifásico, de oito polos, 60 \mathrm{~Hz}, 4,160 \mathrm{kV}, gaiola de esquilo de 1 MW tem os seguintes parâmetros de circuito elétrico equivalente em ohms por fase, conectado em Y, referidos ao estator:
R_{\mathrm{s}}=0,220, \quad R_{\mathrm{r}}^{\prime}=0,207, \quad X_{\ell \mathrm{s}}=1,95, \quad X_{\ell \mathrm{r}}^{\prime}=2,42 \quad \text { e } \quad X_{\mathrm{m}}=45,7 .
Determine as alterações nessas constantes que resultarão das seguintes modificações de projeto propostas. Considere cada modificação separadamente.
Substitua as barras de alumínio do rotor (condutividade 3,5 \cdot 10^{7} \mathrm{~S} / \mathrm{m} ) por barras de cobre (condutividade 5,8 \cdot 10^{7} \mathrm{~S} / \mathrm{m} ).

Passo 1

O enunciado nos dá um motor trifásico com os parâmetros por fase (referidos ao estator, conexão em Y):
R_{\mathrm{s}}=0,220,\quad R_{\mathrm{r}}^{\prime}=0,207,\quad X_{\ell \mathrm{s}}=1,95,\quad X_{\ell \mathrm{r}}^{\prime}=2,42,\quad X_{\mathrm{m}}=45,7.
A modificação proposta (a ser considerada isoladamente) é: substituir as barras do rotor de alumínio (condutividade \sigma_{\text{Al}}=3{,}5\cdot10^{7}\\ \mathrm{S/m}) por barras de cobre ( \sigma_{\text{Cu}}=5{,}8\cdot10^{7}\\ \mathrm{S/m}).
A tarefa: determinar quais constantes do circuito equivalente se alteram e calcular os novos valores após essa substituição.

Passo 2

Entendendo o que cada parâmetro representa (isso ajuda a decidir o que muda):
  • R_{\mathrm{s}}: resistência do enrolamento do estator por fase — depende do material e da geometria do estator.
  • R_{\mathrm{r}}^{\prime}: resistência do rotor referida ao estator por fase — depende da resistividade/condutividade do material do rotor e da geometria das barras do rotor; como aqui trocamos o material do rotor, este é o parâmetro que provavelmente muda.
  • X_{\ell \mathrm{s}} e X_{\ell \mathrm{r}}^{\prime}: reatâncias de fuga (leakage reactances) do estator e do rotor referidas ao estator — dependem da indutância de fuga, que por sua vez depende da geometria e permeabilidades, não diretamente da condutividade do material (exceto efeitos de pele muito específicos).
  • X_{\mathrm{m}}: reatância magnetizante (relacionada ao fluxo no entreferro e núcleo) — depende do circuito magnético (geometria, entreferro, permeabilidade) e não da condutividade elétrica das barras.
Conclusão rápida (prévia): trocar o material das barras do rotor altera principalmente R_{\mathrm{r}}^{\prime}. As reatâncias e R_{\mathrm{s}} permanecem (em primeira aproximação) inalteradas.

Passo 3

Vamos explicar por que R_{\mathrm{r}}^{\prime} muda e como calcular a nova resistência.
Lei óhmica para um condutor de comprimento \ell e área da seção transversal A:
R=\rho\,\frac{\ell}{A},
onde \rho é a resistividade do material. Como \rho=1/\sigma (com \sigma a condutividade), podemos escrever
R=\frac{\ell}{\sigma A}.
Se a geometria do rotor (comprimento \ell e área A das barras) permanecer inalterada, então a resistência é inversamente proporcional à condutividade:
R\propto\frac{1}{\sigma}.
Portanto, trocando apenas o material (mantendo \ell e A iguais), a nova resistência do rotor será
R_{\mathrm{r,new}}^{\prime}=R_{\mathrm{r,old}}^{\prime}\cdot\frac{\sigma_{\text{old}}}{\sigma_{\text{new}}}.
Aqui \sigma_{\text{old}}=\sigma_{\text{Al}} e \sigma_{\text{new}}=\sigma_{\text{Cu}}.

Passo 4

Calculemos numericamente a razão das condutividades e o novo R_{\mathrm{r}}^{\prime}.
Razão das condutividades:
\frac{\sigma_{\text{Al}}}{\sigma_{\text{Cu}}}=\frac{3{,}5\cdot10^{7}}{5{,}8\cdot10^{7}}=\frac{3{,}5}{5{,}8}\approx0{,}603448.
Aplicando à resistência do rotor:
R_{\mathrm{r,new}}^{\prime}=0{,}207\cdot0{,}603448\approx0{,}1249138\approx0{,}125.
Para efeito de comparação, a resistência do rotor ficou:
\text{fator}=\frac{R_{\mathrm{r,new}}^{\prime}}{R_{\mathrm{r,old}}^{\prime}}\approx0{,}603448\quad(\text{ou }60{,}34\%\\ \text{do valor original}),
ou seja, redução percentual aproximada de
(1-0{,}603448)\cdot100\%\approx39{,}66\%.

Passo 5

Justificativa detalhada sobre os demais parâmetros:
  • R_{\mathrm{s}} não muda porque não alteramos o estator nem seu material.
  • X_{\ell \mathrm{s}} e X_{\ell \mathrm{r}}^{\prime} (reatâncias de fuga) dependem de indutâncias de fuga, que são função geométrica e magnética. Trocar a condutividade das barras (mantendo a geometria) não altera, em primeira aproximação, essas indutâncias nem as reatâncias (X=\omega L). Portanto mantêm-se X_{\ell \mathrm{s}}=1{,}95 e X_{\ell \mathrm{r}}^{\prime}=2{,}42.
  • X_{\mathrm{m}} depende do circuito magnético (núcleo, entreferro) e não muda: X_{\mathrm{m}}=45{,}7.
    Obs.: em situações muito específicas a condutividade pode influenciar efeitos de distribuição de corrente (efeito de pele) e pequenas mudanças nas reatâncias efetivas; porém para motores industriais a 60 Hz e assumindo barras com seção e espessura típicas, essa influência é desprezível comparada à mudança óbvia na resistência.

Passo 6

Resumo final das alterações (valores por fase referidos ao estator), considerando apenas a troca de alumínio por cobre nas barras do rotor e mesma geometria:
  • R_{\mathrm{s}} permanece 0{,}220.
  • R_{\mathrm{r}}^{\prime} passa de 0{,}207 para aproximadamente 0{,}125.
  • X_{\ell \mathrm{s}} permanece 1{,}95.
  • X_{\ell \mathrm{r}}^{\prime} permanece 2{,}42.
  • X_{\mathrm{m}} permanece 45{,}7.

Resposta

R_{\mathrm{s}}=0{,}220 (sem alteração)
R_{\mathrm{r}}^{\prime}\approx0{,}125 (novo valor, redução de \approx39{,}66\%)
X_{\ell \mathrm{s}}=1{,}95 (sem alteração)
X_{\ell \mathrm{r}}^{\prime}=2{,}42 (sem alteração)
X_{\mathrm{m}}=45{,}7 (sem alteração)

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