Um motor de indução trifásico, de oito polos, 60 \mathrm{~Hz}, 4,160 \mathrm{kV}, gaiola de esquilo de 1 MW tem os seguintes parâmetros de circuito elétrico equivalente em ohms por fase, conectado em Y, referidos ao estator:
R_{\mathrm{s}}=0,220, \quad R_{\mathrm{r}}^{\prime}=0,207, \quad X_{\ell \mathrm{s}}=1,95, \quad X_{\ell \mathrm{r}}^{\prime}=2,42 \quad \text { e } \quad X_{\mathrm{m}}=45,7 .
Determine as alterações nessas constantes que resultarão das seguintes modificações de projeto propostas. Considere cada modificação separadamente.
Reconecte o enrolamento do estator, originalmente conectado em Y para operação em 4,160 \mathrm{kV}, em \Delta para operação em 2,4 \mathrm{kV}.

Passo 1

Enunciado e dados (peguei os valores do enunciado): motor trifásico, oito polos, 60\\ \mathrm{Hz}, gaiola de esquilo, 1\\ \mathrm{MW}. Os parâmetros por fase, conectados em Y e referidos ao estator, são:
R_{\mathrm{s}}=0{,}220,\quad R_{\mathrm{r}}^{\prime}=0{,}207,\quad X_{\ell \mathrm{s}}=1{,}95,\quad X_{\ell \mathrm{r}}^{\prime}=2{,}42,\quad X_{\mathrm{m}}=45{,}7.
Alteração proposta (considerar isoladamente): reconectar o enrolamento do estator de Y (operação em 4{,}160\\ \mathrm{kV} linha–linha) para \Delta para operação em 2{,}4\\ \mathrm{kV} linha–linha. A pergunta pede: quais alterações nas constantes (os parâmetros acima) resultarão dessa modificação.

Passo 2

Entender a diferença entre tensões de fase e de linha em Y e \Delta (aula rápida e essencial).
  • Em conexão Y: a tensão de fase (tensão no enrolamento) é a tensão linha–linha dividida por \sqrt{3}. Ou seja, se a tensão de linha é V_{\mathrm{LL}}, a tensão no enrolamento é
V_{\mathrm{ph}}^{(Y)}=\frac{V_{\mathrm{LL}}}{\sqrt{3}}.
  • Em conexão \Delta: cada enrolamento fica ligado diretamente entre duas fases, logo a tensão no enrolamento é igual à tensão linha–linha:
V_{\mathrm{ph}}^{(\Delta)}=V_{\mathrm{LL}}.
Portanto é crucial comparar a tensão que cada enrolamento “vê” nas duas situações.

Passo 3

Calcular as tensões de fase (tensão no enrolamento) nas duas conexões usando os valores fornecidos:
  • Caso original ( Y em 4{,}160\\ \mathrm{kV} linha–linha):
V_{\mathrm{ph}}^{(Y)}=\frac{4{,}160\\ \mathrm{kV}}{\sqrt{3}}.
Calculemos numericamente:
V_{\mathrm{ph}}^{(Y)}=\frac{4160}{\sqrt{3}}\\ \mathrm{V}\approx 2402{,}99\\ \mathrm{V}\approx 2403\\ \mathrm{V}.
  • Caso proposto ( \Delta em 2{,}4\\ \mathrm{kV} linha–linha):
V_{\mathrm{ph}}^{(\Delta)}=2{,}400\\ \mathrm{V}.
Comparação:
\frac{V_{\mathrm{ph}}^{(\Delta)}}{V_{\mathrm{ph}}^{(Y)}}=\frac{2400}{2402{,}99}\approx 0{,}999.
Ou seja, a tensão no enrolamento na nova conexão difere da tensão original por apenas cerca de 0{,}1\% — essencialmente a mesma (praticamente igual).

Passo 4

Por que os parâmetros em ohms por fase não mudam (explicação física detalhada)?
  • Os valores dados R_{\mathrm{s}},\;X_{\ell \mathrm{s}},\;X_{\ell \mathrm{r}}^{\prime},\;X_{\ell \mathrm{r}}^{\prime},\;X_{\mathrm{m}} são propriedades elétricas dos enrolamentos e do circuito equivalente referido ao estator. Eles dependem da construção do enrolamento (número de espiras, comprimento do fio, resistividade, geometria, indutâncias relativas) e da frequência, não da forma como as bobinas são interligadas (desde que as bobinas não tenham sido alteradas fisicamente).
  • Resistências e reatâncias por fase (isto é, por enrolamento) permanecem as mesmas se os enrolamentos não forem alterados fisicamente. Matematicamente, cada impedância é
Z_{\text{fase}}=R_{\text{fase}}+jX_{\text{fase}},
com R_{\text{fase}} função da resistividade e do comprimento do fio, e X_{\text{fase}}=\omega L_{\text{fase}} função da indutância e da frequência ( \omega=2\pi f). Nem o comprimento do fio nem a frequência mudaram aqui ( f=60\\ \mathrm{Hz} permanece), e a tensão por enrolamento também permaneceu praticamente igual, de modo que o fluxo e a impedância magnética efetiva também não mudam.
  • O parâmetro referido R_{\mathrm{r}}^{\prime} (resistência do rotor referida ao estator) depende da relação de espiras e da transformação entre rotor e estator; essa relação não é alterada por mudar a ligação do estator (não se mexeu no rotor nem nas espiras relativas), logo R_{\mathrm{r}}^{\prime} também permanece igual.
  • O magnetizing reactance X_{\mathrm{m}}= \omega L_{\mathrm{m}} depende da indutância mútua entre estator e rotor e da frequência. Como a geometria e f são as mesmas e a tensão por enrolamento praticamente igual, X_{\mathrm{m}} não muda.
Conclusão física: reconectar Y\to\Delta e mudar a tensão linha–linha para os valores indicados NÃO altera as impedâncias por enrolamento/por fase, desde que os enrolamentos não sejam modificados.

Passo 5

Observações práticas importantes para a prova (o que muda na prática, embora os parâmetros por fase não mudem):
  • Correntes de linha e correntes nos enrolamentos mudam de acordo com a conexão:
    • Em Y: corrente de linha I_{\mathrm{L}}=I_{\mathrm{ph}}.
    • Em \Delta: corrente de linha I_{\mathrm{L}}=\sqrt{3}\,I_{\mathrm{ph}}.
      Assim, para a mesma potência trifásica e tensões muito próximas por enrolamento, os valores de corrente por linha serão diferentes entre as duas conexões (delta tende a ter correntes de linha maiores se a corrente por enrolamento for a mesma).
  • A potência nominal do motor pode precisar ser reavaliada pela rede (tensão de alimentação, proteção, etc.), mas os parâmetros equivalentes por fase permanecem os mesmos numericamente.
  • Se a tensão por enrolamento tivesse sido significativamente diferente, aí sim haveria mudança no comportamento (por exemplo saturação magnética alterando X_{\mathrm{m}}), mas no caso numérico dado as tensões por enrolamento são praticamente idênticas.

Resposta

R_{\mathrm{s}}=0{,}220 (sem alteração)
R_{\mathrm{r}}^{\prime}=0{,}207 (sem alteração)
X_{\ell \mathrm{s}}=1{,}95 (sem alteração)
X_{\ell \mathrm{r}}^{\prime}=2{,}42 (sem alteração)
X_{\mathrm{m}}=45{,}7 (sem alteração)

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