Um motor de indução trifásico de 6 pólos, 220 V , e até 75 kW está operando em frequência constante de 60 Hz com escorregamento de 2 \%. Seus parâmetros por fase são (referidos ao estator): R_{1}=0.294 \Omega, R_{2}=.144 \Omega, X_{1}=0,503 \Omega, X_{2}=0,209 \Omega e X_{m}=13,25 \Omega.
e) Calcule a potência mecânica total

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
  • Motor trifásico: número de pólos 6.
  • Tensão nominal: 220\\ \text{V} (tensão de linha, assumida neste problema).
  • Frequência: 60\\ \text{Hz}.
  • Escorregamento: s=2\% = 0,02.
  • Parâmetros por fase (referidos ao estator):
    • R_{1}=0,294\\ \Omega
    • R_{2}=0,144\\ \Omega
    • X_{1}=0,503\\ \Omega
    • X_{2}=0,209\\ \Omega
    • X_{m}=13,25\\ \Omega
  • O enunciado pede: calcular a potência mecânica total (trifásica) desenvolvida pelo motor.
Observação (assunção necessária): o problema não especificou a ligação (estrela/triângulo). Vou assumir ligação em estrela (Y), que é a hipótese padrão quando se dá apenas a tensão de linha. Assim a tensão de fase é
V_{ph}=\frac{220}{\sqrt{3}}\\ \text{V}.

Passo 2

Entender a ideia física e a fórmula que vamos usar.
  • Modelo por fase do motor: série R_1+jX_1 (estator), depois um nó onde estão em paralelo a reatância de magnetização jX_m e a impedância do rotor referida ao estator Z_{r}=\dfrac{R_2}{s}+jX_2.
  • A corrente que circula na impedância do rotor referida (chamarei de I_2') é a corrente do rotor referida, por fase.
  • A potência que atravessa o entreferro (power across air-gap) por fase é a potência dissipada na resistência R_2/s, ou seja
P_{ag,\text{fase}} = |I_2'|^2\cdot\frac{R_2}{s}.
  • A perda no cobre do rotor por fase é P_{cu2,\text{fase}}=|I_2'|^2\cdot R_2.
  • A potência mecânica desenvolvida por fase (ou seja, potência convertida em mecânica no rotor, antes de perdas mecânicas como atrito) é
P_{mec,\text{fase}} = P_{ag,\text{fase}} - P_{cu2,\text{fase}} = |I_2'|^2\left(\frac{R_2}{s}-R_2\right) = |I_2'|^2\cdot R_2\left(\frac{1-s}{s}\right).
  • A potência mecânica total (trifásica) é
P_{mec,total} = 3\cdot P_{mec,\text{fase}} = 3\,|I_2'|^2\cdot R_2\left(\frac{1-s}{s}\right).
Portanto a tarefa prática é encontrar I_2' (magnitude) a partir dos parâmetros dados e do V_{ph}.

Passo 3

Calcular tensões e impedâncias numéricas.
  • Tensão de fase (assumindo estrela):
V_{ph}=\frac{220}{\sqrt{3}}\approx 127,02\\ \text{V}.
  • Resistência do rotor referida dividida por s:
\frac{R_2}{s}=\frac{0,144}{0,02}=7,2\\ \Omega.
  • Impedância do rotor referida:
Z_{r}=\frac{R_2}{s}+jX_2 = 7,2 + j\,0,209\\ \Omega.
  • Impedância da magnetização:
Z_{m}=jX_m = j\,13,25\\ \Omega.

Passo 4

Calcular a impedância equivalente do ramo paralelo Z_b formado por Z_m em paralelo com Z_r:
Z_b = \frac{Z_r\cdot Z_m}{Z_r + Z_m}.
Substituindo os números:
  • Primeiro o produto:
Z_r\cdot Z_m = (7,2 + j\,0,209)\cdot j\,13,25 = -2,76925 + j\,95,4\\ \Omega.
  • Soma no denominador:
Z_r + Z_m = 7,2 + j(0,209+13,25) = 7,2 + j\,13,459\\ \Omega.
  • Dividindo (fazer divisão complexa). O resultado numérico (feita a conta detalhada) é
Z_b \approx 5,429 + j\,3,109\\ \Omega.
(Se preferir checar: a magnitude de Z_b é moderada, pois parte da corrente vai para o rotor e parte para magnetização.)

Passo 5

Calcular impedância total por fase e a corrente por fase I_1.
  • Impedância série do estator:
Z_s = R_1 + jX_1 = 0,294 + j\,0,503\\ \Omega.
  • Impedância equivalente por fase vista pela fonte:
Z_{eq} = Z_s + Z_b \approx (0,294+5,429) + j(0,503+3,109) =5,723 + j\,3,612\\ \Omega.
  • Corrente de fase (complexa):
I_1 = \frac{V_{ph}}{Z_{eq}}.
Fazendo a divisão complexa com V_{ph}\approx127,02\\ \text{V} obtém-se (contas detalhadas)
I_1 \approx 15,881 - j\,10,004\\ \text{A},
com magnitude
|I_1|\approx 18,77\\ \text{A}.

Passo 6

A tensão no nó da combinação paralela (tensão sobre Z_b) e a corrente do rotor referida I_2'.
  • Tensão no ramo paralelo (tensão de fase sobre Z_b):
V_b = I_1\cdot Z_b \approx (15,881 - j\,10,004)\,(5,429 + j\,3,109) \approx 117,30 - j\,4,878\\ \text{V}.
(magnitude \approx 117{,}4\\ \text{V})
  • Corrente no ramo rotor (corrente do rotor referida):
I_2' = \frac{V_b}{Z_r} = \frac{117,30 - j\,4,878}{7,2 + j\,0,209} \approx 16,233 - j\,1,149\\ \text{A}.
Magnitude:
|I_2'| \approx 16,275\\ \text{A}.

Passo 7

Calcular a potência mecânica total usando a fórmula do Passo 2:
P_{mec,total} = 3\,|I_2'|^2\,R_2\left(\frac{1-s}{s}\right).
Substituindo valores:
  • |I_2'|^2 \approx 16{,}275^2 \approx 264{,}84\\ \text{A}^2.
  • R_2=0,144\\ \Omega.
  • \dfrac{1-s}{s}=\dfrac{1-0,02}{0,02}=\dfrac{0,98}{0,02}=49.
Logo
P_{mec,total} = 3\cdot 264{,}84\cdot 0,144\cdot 49.
Fazendo as contas:
3\cdot 264{,}84 \approx 794{,}52,
794{,}52\cdot 0,144 \approx 114{,}37,
114{,}37\cdot 49 \approx 5\,606,1\\ \text{W}.
Portanto a potência mecânica desenvolvida total é aproximadamente 5{,}606\\ \text{kW}.

Resposta

P_{\text{mec,total}}\approx 5,606\\ \text{kW}

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