Um motor de indução trifásico de 6 pólos, 220 V , e até 75 kW está operando em frequência constante de 60 Hz com escorregamento de 2 \%. Seus parâmetros por fase são (referidos ao estator): R_{1}=0.294 \Omega, R_{2}=.144 \Omega, X_{1}=0,503 \Omega, X_{2}=0,209 \Omega e X_{m}=13,25 \Omega.
f) Calcule o conjugado (torque) no eixo

Passo 1

Vou listar com clareza os dados fornecidos e o que a questão pede (vou também registrar uma hipótese necessária sobre a ligação, já que o enunciado não diz explicitamente).
Dados fornecidos (valores por fase, referidos ao estator):
  • R_{1}=0{,}294\\ \Omega
  • X_{1}=0{,}503\\ \Omega
  • R_{2}=0{,}144\\ \Omega
  • X_{2}=0{,}209\\ \Omega
  • X_{m}=13{,}25\\ \Omega
Outras informações:
  • Tensão de linha: 220\\ \text{V}
  • Frequência: 60\\ \text{Hz}
  • Número de polos: 6
  • Escorregamento: s=0{,}02 (ou 2\%)
O que o enunciado pede:
  • (f) Calcular o conjugado (torque) no eixo do motor.
Hipótese sobre a ligação (necessária para obter a tensão por fase):
  • Vou assumir ligação em estrela (Y). Assim a tensão por fase é
V_{1}=\frac{220}{\sqrt{3}}\\ \text{V}.
Se a máquina estivesse em delta a fase seria 220\\ \text{V}; explicarei ao final como a resposta mudaria qualitativamente.

Passo 2

Entender a estratégia (explicando didaticamente o método “Thevenin + corrente do rotor” e a fórmula do torque).
Ideia geral:
  • O circuito equivalente por fase tem a impedância série do estator Z_1=R_1+jX_1 alimentando, em paralelo, a reatância de magnetização jX_m e o ramo do rotor Z_2=R_2/s + jX_2.
  • Para simplificar o cálculo da corrente do rotor I_2 usa-se a equivalência de Thevenin vista pelos terminais do ramo rotor: determina-se uma tensão de Thevenin V_{th} e uma impedância de Thevenin Z_{th}=R_{th}+jX_{th} que alimentam diretamente Z_2.
  • Com I_2 conhecido, a potência que atravessa a resistência do rotor (referida ao estator) por fase é P_{ag\,\text{(phase)}}=|I_2|^2\,(R_2/s). A potência total no entreferro (air-gap) é P_{ag}=3\,|I_2|^2 (R_2/s).
  • A potência mecânica desenvolvida (convertida em rotação, antes das perdas mecânicas) é
P_{mech}=P_{ag}(1-s)=3\,|I_2|^2\frac{R_2}{s}(1-s).
  • O torque eletromagnético no eixo é essa potência mecânica dividida pela velocidade angular mecânica do rotor \omega_m. Usando \omega_s (velocidade síncrona angular) e \omega_m=(1-s)\omega_s, a expressão do torque simplifica-se para a forma prática
T=\frac{3\,|I_2|^2 R_2}{s\,\omega_s},
onde \omega_s=2\pi \dfrac{n_s}{60} e n_s=120f/p (em rpm). Essa é uma fórmula bastante usada porque evita calcular explicitamente P_{mech} e \omega_m.
Explicando o que cada símbolo significa:
  • I_2: corrente do rotor (por fase, referida ao estator) — complexa; usa-se seu módulo ao quadrado.
  • R_2: resistência do rotor referida ao estator (dada).
  • s: escorregamento (dado).
  • \omega_s: velocidade síncrona angular (rad/s).
  • T: torque eletromagnético no eixo (N·m).

Passo 3

Calcular a velocidade síncrona e a velocidade angular síncrona \omega_s.
Número de polos p=6, frequência f=60\\ \text{Hz}. A velocidade síncrona em rpm é
n_s=\frac{120 f}{p}=\frac{120\cdot 60}{6}=1200\\ \text{rpm}.
A velocidade síncrona angular é
\omega_s = 2\pi\frac{n_s}{60}=2\pi\cdot 20 = 40\pi\\ \text{rad/s}\approx 125{,}6637\\ \text{rad/s}.

Passo 4

Calcular a tensão de fase V_{1} (assumindo estrela) e construir as impedâncias envolvidas.
Tensão por fase:
V_{1}=\frac{220}{\sqrt{3}}\\ \text{V}\approx 127{,}017\\ \text{V}.
Impedâncias:
Z_1=R_1+jX_1=0{,}294 + j\,0{,}503\\ \Omega, \qquad Z_m = jX_m = j\,13{,}25\\ \Omega.
O ramo do rotor (dependente de s):
Z_2 = \frac{R_2}{s} + jX_2 = \frac{0{,}144}{0{,}02} + j\,0{,}209 =7{,}2 + j\,0{,}209\\ \Omega.

Passo 5

Calcular a equivalência de Thevenin vista pelos terminais do rotor: V_{th} e Z_{th}.
Fórmulas (método explicadinho):
  • Retirando o ramo do rotor, a tensão nos terminais do ramo de magnetização é obtida pelo divisor de tensão entre Z_1 e Z_m:
V_{th}=V_1\cdot\frac{Z_m}{Z_1+Z_m}.
  • A impedância de Thevenin vista pelos terminais (com a fonte substituída por curto) é a associação em paralelo:
Z_{th}=Z_1\parallel Z_m=\frac{Z_1 Z_m}{Z_1+Z_m}.
Cálculos numéricos (passo a passo):
  • Primeiro Z_1+Z_m = 0{,}294 + j(0{,}503+13{,}25)=0{,}294 + j\,13{,}753.
  • Calcula-se
\frac{Z_m}{Z_1+Z_m} = \frac{j\,13{,}25}{0{,}294 + j\,13{,}753} \approx 0{,}962897 + j\,0{,}020599.
  • Logo
V_{th}=V_1\left(0{,}962897 + j\,0{,}020599\right) \approx 127{,}017\cdot(0{,}962897 + j\,0{,}020599) \approx 122{,}3047 + j\,2{,}6153\\ \text{V}.
Agora Z_{th}:
  • Produto Z_1 Z_m=(0{,}294 + j0{,}503)\cdot j13{,}25 = -6{,}66475 + j\,3{,}8955.
  • Dividindo por Z_1+Z_m
Z_{th}\approx 0{,}272664 + j\,0{,}490453\\ \Omega.
Ou seja R_{th}\approx 0{,}27266\\ \Omega e X_{th}\approx 0{,}49045\\ \Omega.

Passo 6

Calcular a corrente do rotor I_2 usando V_{th} e a impedância total vista pelo rotor.
A impedância total que alimenta o rotor é Z_{th}+Z_2:
Z_{th}+Z_2=(0{,}272664+7{,}2) + j(0{,}490453+0{,}209) =7{,}472664 + j\,0{,}699453\\ \Omega.
A corrente do rotor por fase (complexa) é
I_2=\frac{V_{th}}{Z_{th}+Z_2} = \frac{122{,}3047 + j\,2{,}6153}{7{,}472664 + j\,0{,}699453}.
Fazendo a divisão complexa (cálculo mostrado passo a passo nos números):
I_2 \approx 16{,}2561 - j\,1{,}1719\\ \text{A}.
Logo o módulo ao quadrado é
|I_2|^2 \approx 16{,}2561^2 + 1{,}1719^2 \approx 265{,}6344\\ \text{A}^2.

Passo 7

Calcular o torque usando a fórmula simplificada.
Usando
T=\frac{3\,|I_2|^2 R_2}{s\,\omega_s},
substituindo os valores:
T=\frac{3\cdot 265{,}6344 \cdot 0{,}144}{0{,}02 \cdot 125{,}6637061}.
Calculemos numericamente:
  • Numerador: 3\cdot 265{,}6344 \cdot 0{,}144 \approx 114{,}7540.
  • Denominador: 0{,}02\cdot 125{,}6637061 \approx 2{,}5132741.
    Portanto
T \approx \frac{114{,}7540}{2{,}5132741}\\ \text{N}\cdot\text{m}\approx 45{,}645\\ \text{N}\cdot\text{m}.
Interpretação curta e observação:
  • Esse valor é obtido assumindo ligação estrela (fase V_1=220/\sqrt{3}). Se a máquina estivesse ligada em delta (fase =220\\ \text{V}), todas as tensões e correntes por fase aumentariam por um fator \sqrt{3} na tensão de fase e, como o torque escala com a tensão ao quadrado, o torque cresce por um fator (\sqrt{3})^2=3. Nesse caso o torque seria aproximadamente 3\cdot 45{,}645\approx 136{,}935\\ \text{N}\cdot\text{m}.
  • O enunciado não especificou ligação; por isso optei por estrela. Se o seu professor esperava delta use o fator 3 para ajustar.

Resposta

45{,}645\\ \text{N}\cdot\text{m}

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