Um motor de indução trifásico de 6 pólos, 220 V , e até 75 kW está operando em frequência constante de 60 Hz com escorregamento de 2 \%. Seus parâmetros por fase são (referidos ao estator): R_{1}=0.294 \Omega, R_{2}=.144 \Omega, X_{1}=0,503 \Omega, X_{2}=0,209 \Omega e X_{m}=13,25 \Omega.
d) Calcule a potência ativa no rotor (lembre-se de multiplicar pelas 3 fases)

Passo 1

O enunciado dá um motor trifásico com os seguintes dados (todos os números abaixo foram fornecidos no enunciado):
  • tensão de linha: 220\\ \text{V};
  • frequência: 60\\ \text{Hz};
  • escorregamento: s=0,02 (ou seja 2\%);
  • parâmetros por fase referidos ao estator:
    • R_{1}=0,294\\ \Omega,
    • X_{1}=0,503\\ \Omega,
    • R_{2}=0,144\\ \Omega,
    • X_{2}=0,209\\ \Omega,
    • X_{m}=13,25\\ \Omega.
O que a questão (d) pede: calcular a potência ativa no rotor (potência por todas as três fases). Observação importante que afeta o cálculo: para trabalhar no circuito por fase preciso da tensão de fase V_{1}. Aqui vou assumir a conexão estrela (caso usual em exercícios quando se dá apenas a tensão de linha), portanto a tensão de fase é
V_{1}=\frac{220}{\sqrt{3}}\\ \text{V}.
Se a máquina estivesse em conexão triângulo/∆ a tensão de fase seria 220\\ \text{V}; como o enunciado não diz, adotamos a hipótese estrela (se na sua prova for ∆, basta trocar V_{1} por 220\\ \text{V} nos mesmos passos).

Passo 2

Estratégia e conceitos (aula rápida e intuitiva):
  • O circuito equivalente por fase é o clássico do motor de indução: R_{1}+jX_{1} em série com o paralelo entre jX_{m} (magnetização) e o ramo do rotor referido R_{2}/s + jX_{2}.
  • Para achar a corrente no ramo do rotor I_{2} é conveniente reduzir a parte do estator+magnético a uma fonte de Thevenin vista pelos terminais do rotor. Assim obtemos uma fonte de tensão V_{th} em série com uma impedância Z_{th}. Depois
I_{2}=\frac{V_{th}}{Z_{th}+Z_{r}},
onde Z_{r}=\dfrac{R_{2}}{s}+jX_{2} é a impedância do rotor referida.
  • A potência ativa “no rotor” que normalmente se pede em exercícios é a potência transferida através do entreferro (air-gap) para o rotor; por fase essa potência é a potência dissipada na resistência \dfrac{R_{2}}{s}, ou seja
P_{ag,\text{por fase}}=|I_{2}|^{2}\cdot\frac{R_{2}}{s}.
A potência total no rotor (três fases) será P_{ag,\text{total}}=3\,|I_{2}|^{2}\dfrac{R_{2}}{s}.
  • Observação física útil: dessa potência P_{ag} parte se perde como calor no cobre do rotor ( I_{2}^{2}R_{2}) e o restante é a potência mecânica desenvolvida P_{mec}=P_{ag}-3I_{2}^{2}R_{2}=3|I_{2}|^{2}R_{2}\big(\dfrac{1}{s}-1\big)=3|I_{2}|^{2}R_{2}\dfrac{1-s}{s}. (Isso é didático; a questão pediu apenas P_{ag}.)

Passo 3

Calcule V_{1} (tensão de fase) numericamente:
V_{1}=\frac{220}{\sqrt{3}}\approx 127{,}017\\ \text{V}.

Passo 4

Calcule a impedância série do estator e a impedância \,jX_{m}:
Z_{s}=R_{1}+jX_{1}=0,294+j0,503\\ \Omega, \qquad jX_{m}=j13{,}25\\ \Omega.

Passo 5

Encontre a impedância de Thevenin Z_{th} (a impedância equivalente vista pelos terminais do ramo do rotor quando o rotor está aberto) e a tensão de Thevenin V_{th}.
Fórmulas:
Z_{th}=\bigl(Z_{s}\bigr)\parallel jX_{m}=\frac{Z_{s}\cdot jX_{m}}{Z_{s}+jX_{m}}, \qquad V_{th}=V_{1}\cdot\frac{jX_{m}}{Z_{s}+jX_{m}}.
Cálculo passo a passo (divisão de complexos mostrada explicitamente):
  1. Z_{s}+jX_{m}=0{,}294+j(0{,}503+13{,}25)=0{,}294+j13{,}753.
  2. Produto Z_{s}\cdot jX_{m}=(0{,}294+j0{,}503)\cdot j13{,}25.
    Calcule separando real/ímag:
(0{,}294)\cdot j13{,}25 = j3{,}8955, \qquad (j0{,}503)\cdot j13{,}25 = j^{2}(0{,}503\cdot13{,}25) = -6{,}66475.
Logo
Z_{s}\cdot jX_{m}=-6{,}66475 + j3{,}8955.
  1. Divisão complexa para Z_{th}=\dfrac{-6{,}66475+j3{,}8955}{0{,}294+j13{,}753}.
    Usando a fórmula \dfrac{a+jb}{c+jd}=\dfrac{(ac+bd)+j(bc-ad)}{c^{2}+d^{2}} obtemos (cálculos numéricos):
Z_{th}\approx 0{,}2727 + j0{,}4906\\ \Omega.
  1. Agora V_{th}=V_{1}\cdot\dfrac{j13{,}25}{0{,}294+j13{,}753}.
    Fazendo a divisão complexa e multiplicando por V_{1} resulta
V_{th}\approx 122{,}356 + j2{,}616\\ \text{V},
com magnitude |V_{th}|\approx 122{,}39\\ \text{V}.
(Se quiser: os intermediários já foram mostrados; a ideia é ter Z_{th} e V_{th} como fonte equivalente.)

Passo 6

Calcule a impedância do rotor referida:
Z_{r}=\frac{R_{2}}{s}+jX_{2}=\frac{0{,}144}{0{,}02}+j0{,}209=7{,}2 + j0{,}209\\ \Omega.

Passo 7

Calcule a corrente no rotor I_{2} por fase usando a fonte de Thevenin:
I_{2}=\frac{V_{th}}{Z_{th}+Z_{r}}.
Somando as impedâncias:
Z_{th}+Z_{r}\approx (0{,}2727+7{,}2)+j(0{,}4906+0{,}209)=7{,}4727 + j0{,}6996\\ \Omega.
Agora a divisão complexa I_{2}=\dfrac{122{,}356+j2{,}616}{7{,}4727+j0{,}6996} dá, efetuando a operação,
I_{2}\approx 16{,}247 - j1{,}171\\ \text{A}.
Magnitude da corrente:
|I_{2}|=\sqrt{16{,}247^{2}+(-1{,}171)^{2}}\approx 16{,}293\\ \text{A}.
Interpretação didática rápida: esse I_{2} é a corrente que circula no ramo do rotor referido; sua componente real/ímpar complexa vem da defasagem entre tensão e impedância total.

Passo 8

Calcule a potência ativa no rotor (potência por fase transferida através do entreferro) e depois a potência total (3 fases).
Por fase:
P_{ag,\text{por fase}}=|I_{2}|^{2}\cdot\frac{R_{2}}{s}.
Substituindo:
|I_{2}|^{2}\approx(16{,}293)^{2}\approx 265{,}37, \qquad \frac{R_{2}}{s}=\frac{0{,}144}{0{,}02}=7{,}2\\ \Omega.
Logo
P_{ag,\text{por fase}}\approx 265{,}37\cdot 7{,}2 \approx 1\,910{,}7\\ \text{W}.
Potência total (3 fases):
P_{ag,\text{total}}=3\cdot P_{ag,\text{por fase}}\approx 3\cdot 1\,910{,}7 \approx 5\,732{,}1\\ \text{W}.

Passo 9

Interpretação final (resumo didático): o valor calculado P_{ag,\text{total}} é a potência ativa que atravessa o entreferro e entra no circuito do rotor (esta potência inclui tanto as perdas no cobre do rotor quanto a potência que pode ser convertida em trabalho). Se for preciso a potência mecânica disponível no eixo, calcule P_{mec}=P_{ag,\text{total}}(1-s).

Resposta

5\,732{,}1\\ \text{W}

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