Um motor de indução trifásico de 2 polos tem as seguintes dimensões físicas: raio do rotor r=7 \mathrm{~cm}, comprimento do rotor \ell=9 \mathrm{~cm} e comprimento do entreferro \ell_{\mathrm{g}}=0,5 \mathrm{~mm} . N_{\mathrm{s}}=57 espiras, o número de espiras por fase, de modo que o pico da distribuição de densidade de fluxo magnético não excede 800 mT quando as tensões elétricas nominais de linha de 208 V eficazes são aplicadas na frequência de 60 Hz . Calcule a indutância de magnetização L_{\mathrm{m}}.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede a indutância de magnetização:
  • Raio do rotor: r=7\\ \mathrm{cm}.
  • Comprimento axial (altura) do rotor: \ell=9\\ \mathrm{cm}.
  • Comprimento do entreferro: \ell_{\mathrm{g}}=0,5\\ \mathrm{mm}.
  • Número de espiras por fase: N_{\mathrm{s}}=57.
  • Tensão de linha nominal: 208\\ \mathrm{V} (50/60 Hz dizem 60 Hz no enunciado).
  • Frequência: f=60\\ \mathrm{Hz}.
  • Condição indicada: o pico da densidade de fluxo magnético não excede 800\\ \mathrm{mT} ( 0,8\\ \mathrm{T}) com a tensão nominal aplicada.
O que se pede explicitamente:
  • Calcular a indutância de magnetização L_{\mathrm{m}} (presumivelmente por fase, usando as dimensões dadas).

Passo 2

Ideia física e fórmula principal que vamos usar.
  • A indutância de magnetização pode ser obtida a partir do circuito magnético aproximado do entreferro (o entreferro domina a relutância). Para um circuito magnético linear simples, vale
L_{\mathrm{m}}=\frac{N^{2}}{\mathcal{R}_{\mathrm{m}}},
onde \mathcal{R}_{\mathrm{m}} é a relutância do caminho magnético visto pelo fluxo que determina a magnetização.
  • A relutância do entreferro (assumindo que a permeabilidade do núcleo é muito maior que a do ar, logo a relutância do ar domina) é dada por
\mathcal{R}_{\mathrm{m}}=\frac{\ell_{\mathrm{g}}}{\mu_{0} A},
onde \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m} é a permeabilidade do vácuo e A é a área efetiva atravessada pelo fluxo no entreferro.
  • Substituindo em L_{\mathrm{m}} obtemos a forma prática
L_{\mathrm{m}}=\frac{\mu_{0} N^{2} A}{\ell_{\mathrm{g}}}.
Portanto precisamos calcular a área efetiva A por onde passa o fluxo e aplicar a fórmula acima.

Passo 3

Determinar a área efetiva A que o fluxo atravessa.
  • Para uma máquina de 2 polos a distância angular de um polo é metade da circunferência, logo o comprimento do polo (arc pitch) é
\text{pole pitch}=\frac{2\pi r}{2}=\pi r.
  • A área de passagem do fluxo por polo é então (comprimento do polo) \times (comprimento axial):
A=(\pi r)\,\ell.
Agora substituímos valores (converter para metros):
r=7\\ \mathrm{cm}=0{,}07\\ \mathrm{m},\qquad \ell=9\\ \mathrm{cm}=0{,}09\\ \mathrm{m}.
A=\pi\cdot(0{,}07)\cdot(0{,}09)=\pi\cdot0{,}0063\approx0{,}0197928\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 4

Parâmetros magnéticos numéricos.
  • \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m}\approx1{,}25663706\times10^{-6}\\ \mathrm{H/m}.
  • \ell_{\mathrm{g}}=0{,}5\\ \mathrm{mm}=0{,}0005\\ \mathrm{m}.
  • N=57 (espiras por fase).
  • A área A calculada no passo anterior é A\approx0{,}0197928\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 5

Calcular L_{\mathrm{m}} usando a fórmula direta.
Usamos
L_{\mathrm{m}}=\frac{\mu_{0} N^{2} A}{\ell_{\mathrm{g}}}.
Colocando os números:
N^{2}=57^{2}=3249.
\mu_{0}A=(1{,}25663706\times10^{-6})\times(0{,}0197928)\approx2{,}48695\times10^{-8}.
\mu_{0}N^{2}A=(2{,}48695\times10^{-8})\times3249\approx8{,}07968\times10^{-5}.
L_{\mathrm{m}}=\frac{8{,}07968\times10^{-5}}{0{,}0005}\approx0{,}1615936\\ \mathrm{H}.
Arredondando a uma precisão razoável:
L_{\mathrm{m}}\approx0{,}162\\ \mathrm{H}.

Passo 6

Verificação rápida (consistência com a restrição de B_{\text{peak}}) — aula rápida sobre tensão induzida e fluxo.
  • A fem induzida por fase (valor eficaz) em regime senoidal aproximado é
E_{\mathrm{ph,rms}}=\frac{N\omega \Phi_{\mathrm{peak}}}{\sqrt{2}},
onde \omega=2\pi f e \Phi_{\mathrm{peak}}=B_{\mathrm{peak}}A.
  • Com a tensão de linha 208\\ \mathrm{V} e assumindo conexão estrela, a tensão de fase eficaz é
V_{\mathrm{ph,rms}}=\frac{208}{\sqrt{3}}\approx120{,}124\\ \mathrm{V}.
  • Se calculássemos o fluxo a partir da tensão: \Phi_{\mathrm{peak}}=\dfrac{\sqrt{2}\,V_{\mathrm{ph,rms}}}{N\omega}.
    Substituindo f=60\\ \mathrm{Hz} e N=57 dá aproximadamente \Phi_{\mathrm{peak}}\approx0{,}00791\\ \mathrm{Wb}.
  • Isso corresponderia a uma densidade de fluxo
B=\frac{\Phi_{\mathrm{peak}}}{A}\approx\frac{0{,}00791}{0{,}01979}\approx0{,}399\\ \mathrm{T}=399\\ \mathrm{mT},
ou seja, bem abaixo do limite de 800\\ \mathrm{mT}. Isto confirma que N=57 é conservador e que a aproximação do entreferro dominando a relutância faz sentido.

Resposta

L_{\mathrm{m}}\approx0{,}162\\ \mathrm{H}

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